Xreferat.com » Рефераты по физике » Теория распространения волн

Теория распространения волн

ОГЛАВЛЕНИЕ


1.Формулировка задачи исследования.

2. Исходные положения и допущения.

3. Исходная система основных уравнений.

4. Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме.

4.1 Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости.

4.2 Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.

4.3 Распространение волн на неглубокой воде.

5. Численный пример расчёта с использованием полученных расчётных уравнений.

6. Анализ полученных теоретических результатов.

7. Список литературы.

Формулировка задачи исследования.


Для любых механических волн одними из важнейших характеристик являются длина волны и скорость её распространения.

Задача данного исследования – проследить зависимости этих величин друг от друга на примере волн, возникающих на свободной поверхности жидкостей, рассмотреть процесс интерференции волн разной длины, описать механизм их появления и распространения.


2. Исходные положения и допущения.


Рассматриваемая жидкость (вода) принимается несжимаемой, невязкой и идеальной.

В исследовании волновых процессов на свободной поверхности жидкости в качестве жидкости будет рассматриваться вода. Для расчётов потребуются следующие характеристики для воды при обычных условиях:

ρ = 1 г/см3;

С = 72,5 мН/м;

Эти значения будут использованы для количественной оценки выведенных соотношений, но, тем не менее, все формулы будут представлены в общем виде для произвольной жидкости.

Свободная поверхность жидкости соприкасается с воздухом. Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. Допустим, что массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности воды будет равно атмосферному.

Также принимается, что частицы свободной поверхности воды описывают траектории, совпадающие с окружностью. Здесь имеется в виду траектория частиц в системе отсчёта, движущейся вместе с волнами с их фазовой скоростью с . Такое движение имеет место при отсутствии трения.

3. Исходная система основных уравнений.


Уже введённое допущение о несжимаемости жидкости в математической форме принимает вид:

ρ = const; (3.1)

Закон изменения импульса выражается из уравнения движения в форме Эйлера

Теория распространения волн; 5(3.2)

Уравнение сохранения энергии в общем виде:

Теория распространения волн

В этом уравнении 5 слагаемых. Они имеют следующий смысл (слева направо):

1) изменение кинетической энергии;

2) работа объёмных сил;

3) работа сил давлений;

4) работа сил трения;

5) внешняя механическая работа.

Учитывая допущения параграфа 2, четвёртый член обнуляется (отсутствие трения). Уравнение принимает вид:

Теория распространения волн (3.3)

Уравнение неразрывности запишется в виде:

,Теория распространения волн, (3.4)

где δσ – элемент поперечного сечение трубки тока в каком-либо месте, Vn - средняя скорость в

этом сечении, ρ=const - плотность жидкости (жидкость несжимаема – смотри §2).

Уравнения 3.1-3.4 являются исходными для проведения исследования. На них опираются все дальнейшие доказательства и выводы.

4. Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме.


4.1 Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости.


Теория распространения волн


Как было принято в пункте 2, движение частиц свободной поверхности в системе отсчёта, двигающейся с фазовой скоростью волны (с абсолютной скоростью движения гребней волн), происходит по траекториям, близким к окружностям. В указанной системе отсчёта движение является установившимся (см. рис. 4.1).

Теория распространения волнПусть фазовая скорость с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен r, а период обращёния этой частицы по своей траектории равен Т. Тогда в неподвижной системе отсчёта скорость течения на гребнях волн будет равна

ω1 = c - Теория распространения волн;

а во впадинах волн

ω2 = c + Теория распространения волн;

Разность высот между наивысшим (hв) и наинизшим (hн) положениями точек свободной поверхности равна h = hв - hн = 2r.

После ряда допущений в уравнении 3.2 и интегрирования уравнения движения вдоль линии тока получается уравнение сохранения движения в одной из форм уравнения Бернулли. Далее представлен пошаговый вывод с постепенным введением допущений:

Уравнение 3.2 в проекциях на оси координат (при допущении, что среда идеальная и невязкая):

Теория распространения волн, Теория распространения волн;

Этих двух уравнений достаточно для последующего вывода, в них проигнорирована одна из координат y – это допустимо, так как разговор идёт о двухмерном движении. Далее первое уравнение домножается на dx, второе домножается на dz и оба уравнения складываются:

Теория распространения волн

Далее записывается уравнение линии тока (вторым допущением является то, что движение происходит только вдоль линии тока): Теория распространения волн, откуда Теория распространения волн. Это допущение позволяет группу слагаемых из левой части суммарного уравнения представить в виде

Теория распространения волн.

Действительно, Теория распространения волн.

Далее поле внешних сил принимается потенциальным (вообще говоря, в нашем случае это поле сил тяжести). Это означает, что существует такая силовая функция U, для которой Теория распространения волн и Теория распространения волн.

Тогда Теория распространения волн (первая скобка в правой части суммарного уравнения).

Последнее слагаемое суммарного уравнения есть не что иное, как Теория распространения волн - полный дифференциал давления P, делённый на плотность. Самая первая скобка суммарного уравнения в векторном виде запишется как Теория распространения волн. Теперь, когда все слагаемые рассмотрены, можно переписать суммарное уравнение в упрощённом виде: Теория распространения волнТеория распространения волн. Дальнейшие упрощения приводят к обнулению первого члена этого уравнения, т. к. для установившегося течения Теория распространения волн. Теперь, ещё раз вспомнив о потенциальности поля сил тяжести, можно записать Теория распространения волн, Теория распространения волн.

Это значение подставляется в полученное дифференциальное уравнение, после чего последнее интегрируется вдоль линии тока:

Теория распространения волн,

Теория распространения волн.

Жидкость несжимаема (ρ=const), поэтому Теория распространения волн.


Получилось уравнение Теория распространения волн +Теория распространения волн= Теория распространения волн +Теория распространения волн;

Применительно к рассматриваемой задаче Теория распространения волнТеория распространения волн, здесь давления сократились, т. к. согласно допущению, принятому в параграфе 2, во всех точках свободной поверхности давление равно атмосферному.

ω22 – ω12 = hв – hн = 2gh = 4gr,

после подстановки вместо ω2 и ω1 их значений, получается:

(c + Теория распространения волн)2 - (c - Теория распространения волн)2 = 4gr,

Теория распространения волн

Теория распространения волн. (4.1)

Радиус r в эту формулу не вошёл, следовательно, фазовая скорость волн (скорость распространения волн) не зависит от высоты волн. Гребень волны продвигается за время Т на расстояние λ, называемое длиной волны, следовательно,

Теория распространения волн.

Подставим это значение в формулу 4.1:

Теория распространения волн. (4.2)

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от, например, звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, затем длинные волны уходят вперёд, а короткие остаются позади них.

Теория распространения волн


рис 4.2


Из расположения линий тока видно (см. рис. 4.2 - здесь система отсчёта неподвижна относительно покоящейся воды), что скорость движения воды быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины Теория распространения волн, следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только

Теория распространения волн,

то есть более чем в 500 раз меньше, чем скорость на поверхности.

Формула 4.2 справедлива только для низких волн, причём независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое даёт формула 4.2. Кроме того, при высоких волнах траектория частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперёд на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 4.2). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперёд.

Также формула 4.2 справедлива лишь для длинных волн. В общем случае кроме силы тяжести на волны действует также поверхностное натяжение. Они стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в общем случае скорость распространения волн равна

Теория распространения волн, (4.3)

Теория распространения волнгде С – капиллярная постоянная. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член под корнем, для коротких – наоборот, второй член.

Теория распространения волнСправа представлен график распределения скоростей волн в зависимости от длины волны для воды.

Теория распространения волнТеория распространения волнТеория распространения волнТеория распространения волнИз графика видно, что у скорости волны есть минимум. Найдём аналитически минимальную возможную скорость распространения волн на свободной поверхности воды. Для этого необходимо взять производную по длине волны от выражения для скорости 4.3 и приравнять её нулю:

Теория распространения волн=0;

Теория распространения волн - длина волны, при которой скорость волны минимальна. Это значение можно подставить в 4.3:

Теория распространения волн.

Получилось выражение для минимально возможной скорости распространения волны.

Теория распространения волн
Теория распространения волнТеория распространения волнВолны, длина которых больше λ1, называются гравитационными, а волны, длина которых меньше λ1, - капиллярными. На графике к

Теория распространения волн


капиллярным волнам относится левая ветвь, к гравитационным – правая. а

Волны могут возникать и на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны ρ1 и ρ2, со фазовая скорость волн выражается формулой

Теория распространения волн.

Возникновение устойчивых волн в таком случае возможно только если их длина достаточно велика. Короткие волны неустойчивы, что неизбежно приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне.

Пусть верхняя жидкость течёт со скоростью ω1 относительно нижней. Возникшие волны распространяются со скоростью, равной среднему значению первоначальных скоростей над и под поверхностью раздела. На рисунке 4.3 выбрана такая система отсчёта, которая движется с этой средней скоростью. Следовательно в этой системе отсчёта гребни и впадины волн остаются неподвижными, верхний поток движется вправо, а нижний – влево.

На линии тока выделяется частица жидкости. Для этой точечной частицы нормальное ускорение равно Теория распространения волн, где ω – скорость течения на линии тока, r – радиус кривизны в рассматриваемой точке (может быть как положительным в месте выпуклости линии тока, так и отрицательным в месте вогнутости). Уравнение движения в проекции на направление r даёт:

Теория распространения волн, где ∂s – элемент дуги, p – давление в рассматриваемой точке, ρ – плотность жидкости.

Получается, что знак ∂p зависит только от знака радиуса кривизны, т. е. давление растёт по мере приближения к выпуклости линии тока и понижается у вогнутости. На рисунке 4.3 области повышенного давления обозначены плюсами, пониженного – минусами. Очевидно, что такое течение не может быть устойчивым. Жидкость из пиков волн устремится внутрь соседней среды, и обе жидкости перемешаются с образованием вихрей.

При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной волны, поэтому на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности могут устойчиво существовать только достаточно длинные волны.

4.2 Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.


Скорость, обозначаемая ранее буквой с и называемая скоростью распространения волны, - есть ни что иное, как фазовая скорость (т.е. скорость перемещения гребней волн). От неё следует отличать скорость распространения группы волн, называемую групповой скоростью (далее она будет иметь обозначение с*).

Понять различие между ними проще всего на примере картины, возникающей в результате наложения двух волн, имеющих разные амплитуды, но немного отличающиеся своей длиной. Пусть имеется синусоидальная волна

y = A sin (μx - νt),

где А есть амплитуда, t – время, а μ и ν – некоторые коэффициенты.

При изменении x на Теория распространения волн или t на Теория распространения волн синус принимает прежнее значение (т. к. sin (φ+2π) = sin (φ) по формулам приведения. Следовательно, величина

Теория распространения волн - это длина волны, (4.4)

а величина Теория распространения волн - период колебаний. Если (4.5)

μx – νt = const, т. е. если x = const + Теория распространения волн,

то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината y. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью Теория распространения волн. (4.6)

Пусть на эту волну накладывается вторая волна

y′ = A sin (μ′x - ν′t),

т. е. волна с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями μ и ν. Результирующим движением будет

y + y′ = A[sin (μx - νt)+ sin (μ′x - ν′t)]. (4.7)

В тех точках оси x, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна 2A, в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. После применения к 4.7 правила сложения синусов, получается выражение

y + y′ = 2A cosТеория распространения волн sin Теория распространения волн.

В этом равенстве член sin Теория распространения волн представляет собой волну, для которой коэффициенты при x и t равны средним значениям от μ и μ′ и соответственно от ν и ν′.

Множитель 2A cosТеория распространения волн, в свою очередь, можно рассматривать как переменную амплитуду (при малых различиях параметров этот множитель изменяется очень медленно).


Теория распространения волн


Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки (она и называется групповой скоростью) на основании выведенного соотношения 4.6 равна

Теория распространения волн. (4.8)

Для длинных групп, т. е. для медленных биений (см. пункт 4.1 – зависимость длины волны от скорости), с достаточной точностью можно принять, что

Теория распространения волн.

Соотношения между групповой скоростью и скоростью распространения волны определяются следующим образом:

для гравитационных волн:

Из формулы 4.1 : Теория распространения волн, но, согласно равенству 4.5, Теория распространения волн, следовательно Теория распространения волн.

С другой стороны, после подстановки в формулу 4.2 значения λ из 4.4, получается:

Теория распространения волн, поэтому Теория распространения волн.

Дифференцирование по μ с учётом равенства 4.8 даёт результат:

Теория распространения волн.

для капиллярных волн:

Из формулы 4.5 : Теория распространения волн, но, согласно равенству 4.4, Теория распространения волн.

Дифференцирование этого выражения по μ с учётом 4.8 и выражения скорости для предельного случая очень короткой капиллярной волны Теория распространения волн (см. формулу 4.3 и пункт 4.1) даёт результат:

Теория распространения волн.

Таким образом, группы гравитационных волн распространяются со скоростью с*, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы всё время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду.

Групповая скорость капиллярных волн больше фазовой скорости, а именно, в предельном случае очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают.


4.3 Распространение волн на неглубокой воде.


Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они ещё достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и выведенные соотношения неверны и принимают на самом деле более сложный вид. Однако для волн на очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде зависимость между длиной и скоростью распространения волн принимает опять более простой вид. В обоих этих случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому опять можно считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону.


Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево «вал» воды шириной b, повышающий уровень воды от h1 до h2 (рисунок 4.4). До прихода вала вода находилась в покое. Скорость её движения после повышения уровня ω. Эта скорость не совпадает со скоростью вала, она необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объёма воды в переходной зоне шириной b вправо и тем самым поднять уровень воды.


Теория распространения волн
рис 4.4 п


Наклон вала по всей его ширине принимается постоянным и равным Теория распространения волн. При условии, что скорость ω достаточно мала, чтобы ей можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость воды в области вала будет равна (рисунок 4.5)


Теория распространения волнТеория распространения волнТеория распространения волн


Условие неразрывности 3.4, применённое к единичному слою воды (в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 4.4), имеет вид

ω1l1 = ω2l2 , (интеграл исчез из-за линейности рассматриваемых площадок),

здесь ω1 и ω2 – средние скорости в поперечных сечениях l1 и l2 потока соответственно. l1 и l2 – линейные величины (длины).

Это уравнение, применённое к данному случаю, приводит к соотношению

h2ω = bV , или

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: