Hpor
Билет№1 1)Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция (синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом является число T=2P. Для построения графика периодической функции достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т, а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,… 2)Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е. a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s. 2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя: a^r : a^s = a^r-s. 3)
При возведении
степени в степень
основание
оставляют
прежним, а
показатели
перемножают:
(a^r)^s
= a^rs 4)
Степень
произведения
равна произведению
степеней: (ab)^r
= a^r * b^r. 5)
Степень
частного равна
частному степеней
(a/b)^r
= a^r / b^r. 6)
Пусть
r
рациональное
число и число
a
больше нуля,
но меньше числа
b,
0 b^r, если
r-отрицательное
число.7)
Для любых
рациональных
чисел r
и s
из неравенства
r |
Билет №2 1)Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)f(x0) Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0. Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) f(x) Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0. 2)1)Если a1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как sinx1 для любого х. 2)Пусть a1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает, следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень x=arcsin a. Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a. В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n) решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n x=пи- arcsin a +2пи n решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы x=(-1)^n arcsin a + пи n при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой. |
Билет №3 1)арксинусом числа а называется число, для которого выполнены следующие два условия: 1)-p/2 <= arcsin a <= p/2; 2) sin(arcsin a)=a. Из втоого условия следует, что |a|<=1 Пример1. (рис 26) arcsinSQR3 / 2 = p/3, так как: 1) –p/2 <= p/3 <=p/2; 2)sin p/3= SQR3 / 2 Пример2. Arcsin SQR5/2 не имеет смысла, так как SQR5 / 2 >1, a arcsin a определён при –1 Определение Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [-Пи/2;Пи/2], синус которого равен а. 2)Если функция F-первообразная функции f на промежутке I, то функция y=F(x)+C (c-const) также является первообразной функции f на промежутке I. Любая первообразная функции f на промежудке I может быть записана в виде F(x)+C. Доказательство. 1) Воспользуемся определением первообразной: (F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x), следовательно, y=F(x)+C – первообразная функции f на промежутке I. 2) Пусть Ф и F- первообразные функции f на промежутке I. Покажем, что разность Ф-F равна постоянной. Имеем (Ф(x) – F(x))’ = Ф’(x) – F'(x)=f(x)-f(x)=0, следовательно, по признаку постоянства функции на интервале Ф(x)-F(x)=C. Значит любую первообразную можно записать в виде F(x)+C. Графики любых двух первообразных для функции y=f(x) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Ox (рис. 18) |
Билет №4 1)Арккосинусом числа а называется такое число, для которого выполнены следующие два условия: 1) 0<=arccosa<=p; 2)cos(arccos a)=a. Из условия 2 следует, что |a|<=1 Пример 1 (рис 28) arccos1/2=p/3, так как: 1)0<= p/3 <= p; 2) cos p/3 = Ѕ. Пример 2. Arccos p не имеет смысла , так как p ~=3,14 > 1; arccos a определён при |a|Б=1 2)Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а- заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной функции1) Областью определения показательной функции являются все действительные числа. Это следует из того, что для любого x принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2) Множеством значений показательной функции являются все положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а) Показательная функция y+a^x возрастает на всей области определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает на всей области определения, если 01, то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2 >a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1 при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что если 0 < a<1 , то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств степени известно, если r>s и 0x1 и 04) Нет таких значений аргумента, при которых значения показательной функции равны нулю, т.е. у показательной функции нет нулей. 5)Показательная функция непрерывна на всей области определения. 6) Показательная функция дифференцируема в каждой точки области определения, производная вычисляется по формуле (a^x)’ = a^x ln a. (график на рисунке 29) |
Билет№ 51)На интервале (-Пи/2;Пи/2) функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале (-Пи/2;Пи/2) существует единственный корень b уравнения tgx=a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctga. Определение Арктангенсом числа а называется такое число из интервала (-Пи/2;Пи/2) тангенс которого равен а. Пример arctg1=Пи/4, так как tgПи/4=1 и Пи/4(-Пи/2;Пи/2); arctg(-SQR3)=-Пи/3, так как tg(-Пи/4)=-SQR3 и –Пи/3(-Пи/2;Пи/2). 2)Логарифмической
функцией
называется
функция вида
y =
loga x, где
а -заданное
число, a>0,
a не
рано 1. Свойства
логарифмической
функции1)
Областью
определения
логарифмической
функции являются
все положительные
действительные
числа. Это следует
из определения
логарифма
числа b
по основанию
a; loga b имеет
смысл, если
b>0
2)
Множеством
значений
логарифмической
функции являются
все действительные
числа. Пусть
y0
– произвольное
действительное
число. Покажем,
что найдётся
такое положительное
значение аргумента
x0,
что выполняется
равенство
y0 =
logax0. По
определению
логарифма
числа имеем:
x0 = a^y0, a^y0 > 0.
Мы показали,
что нашлось
значение x0
> 0, при
котором значение
логарифмической
функции равно
у0 (у0 – произвольное
действительное
число). 3)
Логарифмическая
функция обращается
в нуль при х=1.
Решим уравнение
logax=0.
По определению
логарифма
получаем: a^0
= x, т.е.
x =
1. 4)
а)
логарифмическая
функция y=loga
x возрастает
на всей области
определения,
если a>1.Докажем,
что большему
значению аргумента
(х2 >
х1)
соответствует
большее значение
функции (loga
x2 > loga x1),
если a>1.
Пусть x2
> x1 > 0;
тогда используя
основное
логарифмическое
тождество,
запишем это
неравенство
в виде a^logax2
> a^logax1 .
(1) В неравенстве
(1) сравниваются
два значения
показательной
функции. Поскольку
при a>1
показательная
функция возрастает,
большее значение
функции может
быть только
при большем
значении
аргумента,
т.е. logax2
> logax1.
б)Логарифмическая
функция y=logax
убывает на
всей области
определения,
если 05)
Логарифмическая
функция y=logax:
а)
при a>1
принимает
положительные
значения, если
x>1;
отрицательные
значения, если
0 |
Билет №6 1)Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого промежутка; x – приращения аргумента x; x0 + X также принадлежит этому промежутку; y – приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t. Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t). 2)1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x – периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn], где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z. |
Билет № 7 1)Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого промежутка; x-приращение аргумента х; точка х0+x принадлежит этому промежутку; y-приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой коэффициент касательной. 2)1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn, nпринадлежит Z. |
Билет №8 1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x)f(a) с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна в точке а , если f(x)f(a) при ха. Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на промежутке. Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию. Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x 3^2, при хФ-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел , а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. 2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное число n-ая степень к-рого равна а. Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполняются следующие св-ва:
n sqr a< n sqr b, если 0a Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr a^k)^n=a^k; (n sqr a)^k0, так как n sqr a0. Найдем n-ю степень выражения (n sqr a)^k. По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k. Следовательно n sqr a^k=( n sqr a)^k. |
Билет №9 1. Все рациональные и дробно-рациональные ф-ции непрерывны на всей области определения. Этот факт следует из того что рациональные и дробно-рациональные ф-ции дефференцируемы во всех точках своих областей опр-ия. Например: ф-ция f(x)=x^3-7X^2+24x непрерывна на множестве действительных чисел; а ф-ция g(x)=(x^3+8)/(x-2) непрерывна на промежутке (-:2) и на промежутке (2;+ ) 2. Логарифмом числа b наз-ся показатель степени в к-рую нужно возвести основание а чтобы получить число b. Из опр-ия имеем: a^ logab =b (осн-ое лог-ое тождесто) Св-ва логарифмов: При любом а>0(а1), и любых пол-ных х и у выполняются следующие св-ва:
Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции а^ х+у =а^x * а^y имеем а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay
logaХ= logbX/ logbA |
Билет №10. 1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех значений аргумента из этого промежутка F(x)=f(x). Например ф-ция F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех действительных чисел. Действительно F(x)=12X^2+3 , т.е. F(x)=f(x). 2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс , то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x. Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме чисел вида X=пи/2 +пи k, kZ. Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа, при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, kZ. 2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-;+). 3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого хD(y) выполняется нер-во tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x 4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме 0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи. 5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, kZ. Решением ур-ия tg x=0 явл-ся числа х=пи k, kZ 6)
Ф-ция tg
принимает
положительные
значения при
пи k Ф-ция tg принимает отрицательные значения при -пи/2+пи
k 7) Ф-ция tg возрастает на всей области опр-ия т.е. на промежутках (-пи/2+пи k; пи/2 +пи k) kZ |
Билет №13 1) Для того чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение ф-ции y=f(x) имеющее на отрезке a;b конечное число критических точек, нужно:1. Найти критические точки, принадлежащие отрезкуa;b; 2.найти значения ф-ции в критических точках принадлежащих отрезку a;b;3. Найти значение ф-ции на концах отрезка;4. Из полученных чисел (значения ф-ции в критических точках и на концах промежутка ) выбрать наиболее наибольшее (наименьшее) .Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение ф-ции y=x^3 –3x на отрезке -1,5;3. 1)D(y)=R; 2) найдем критические точки y’ =3x^2 –3; А)y’ = 0 если 3x^2 -3=0; 3(x^2 –1)=0; x=0 или x=1. Б) точек в к-рых производная не существует нет. 3) y(-1)=-1+3=2; y(1)=1-3=2; y-(-1.5)=(1.5)^3-3* (-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25*.5=1.125 y(3)=27-9=18; -2<1.125<2<18 y(1) Min
-1,5;3
y(x)=y(1)=-2 Max
-1,5;3
y(x)=y(3)=18 2)
1.sin
a+ sin b = 2 sin (a+b)/2 *cos(a-b)/2,
2.
sin a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2, 3.
cos a+ cos b=2 cos (a+b)/2*cos (a-b)/2 4.
cos a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2 1)Пусть
a=x+y
и b=x-y
из
этих равенств
находим: x=(a+b)/2
и
y=(a-b)/2 2)
выведем ф-лы
для суммы и
разности синусов. Докажем
формулу 1:
Воспользовавшись
формулами
синуса суммы
и синуса разности
имеем sin
a+sin b = =sin(x+y)+ sin(x-y)= sin x cos
y+ sin y
cos x+ sin x* cos y-sin y*cos x= 2sin x*cos y= 2
sin(a+b)/2*cos(a-b)/2. Таким
образом sin
a+ sin b=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2 Докажем
формулу 2: Sin
a-sin b= sin (x+y)- sin(x-y)=sin x cos
y+ sin y*cos
x –sin x*cos y+sin y*cos x= 2 sin y*cos x=2 sin(a-b)/ 2 *
cos(a+b)/2. Таким образом
sin
a- sin b=2 sin(a-b)/2 *cos(a+b)/2, 3)
выведем
ф-лы для суммы
и разности
косинусов. Докажем
формулу 4: Cos
a- cos b=cos(x+y)-cos(x-y)=cos x* cos y-sin x* sin y-cos x*cos
y-sin x*sin y=-2sin x*sin y=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2 Таким
образом cos
a- cos b=-2 sin (a+b)/2*sin (a-b)/2 |
Билет №14 1) Пусть задана ф-ция y=f(x) ее график изображен на рис 49. Точка х1 является точкой максимума , х2 является точкой минимума, т.е. точки х1 и х2- точки экстремума. Значения ф-ции в точках экстремума наз-ся экстремумами ф-ции. Например, значения ф-ции y=cos x в точках x= 2 пи k,где k Z, явл-ся экстремумами (максимумами)ф-ции,т.е. Ymax=1 2) 1.Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b; 2.cos (a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b; 3. sin(a-b)=sin a*sin b- sin b*cos a 4. sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a Докажем ф-лу (1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на угол a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус ОС. 2)Пусть В(х1;у1) С(х2;у2). 3) Введем векторы ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2) 4)По опр-ию скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-ию синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b 6) заменяя в равенстве(*) х1,х2,у1,у2, получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По теореме о скалярном произведении векторов ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cosBOC=R^2 cosBOC, BOC= a-b(см. рис. 50) или BOC= 2 пи-(a-b) (см. рис. 51) cos(2 пи-(a-b))=cos(a-b) следовательно ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) (***) 8) Из неравенств (**) и (***) получим: R^2*cos(a-b)=R^2* cos a*cos b+R^2*sin a*sin b. Разделив левую и правую части на R^20 получим формулу (1) косинуса разности Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b; С помощью этой формулы легко вывести формулу (2) косинуса суммы и (4) синуса суммы: Cos (a+b)=cos(a-(-b))=cos a*cos(-b)+sin a*sin (-b)= cos a*cos b-sin a*sin b значит cos(a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b. Докажем формулу (4): sin (a+b)=cos(пи/2-(a+b))=cos((пи/2-a)-b)=cos(пи/2-a)cos b+sin(пи/2-a)sin b=sin a*cos b+cos a*sin b Значит sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a Докажем формулу (3) Применяя последнюю формулу имеем sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin a*cos (-b)+sin(-b)*cos a=sin a*cos b-sin b*cos a. Значит sin(a-b)=sin a*cos b-sin b*cos a. При док-ве формул (1)-(4) были использованы следующие факты:1) формулы приведения 2)ф-ция y=sin x-нечетная, ф-ция y=cos x-четная. Из формул сложения пологая b=пи n/2, где nN, можно вывести формулы привидения для преобразований выражений вида cos(пи*n/2 a), sin(пи*n/2 a). Например cos(пи*n/2 a)= cos пи/2*cos a+sin пи/2*sin a=0+sin a=sin a. Аналогично выводятся следующие формулы: Sin (пи-а)=sin a Sin (пи+а)=-sin a Sin (3 пи/2-а)=-cos a и т.п. Из формул сложения следуют формулы двойного аргумента: Sin 2a=2sin a*cos a Cos 2a=cos^2 a-sin^2 a |
Билет №11 1)Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x); S-площадь соответствующей криволинейной трапеции (рис42). Для вычисления площади S разобьём отрезок [a;b] на n равных отрезков, длинна каждого отрезка [Xj;Xj+1] равна b-a / n; на каждом из отрезков построим прямоугольник, высота которого равна значению функции f(Xj); площадь такого прямоугольника равна f(Xj)*X=f(Xj) * b-a / n. При увеличении числа промежутков, на которые разбивается отрезок [a;b], ступенчатая фигура, состоящяя из прямоугольников, будет «мало отличатся» от криволинейной трапеции, и если Sn-сумма площадей всех прямоугольников, то Sn~=S. В курсе математического анализа показывается, что для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) существует число, к которому стремится сумма площадей прямоугольников при неограниченном увеличении n(n ). Это число называют интегралом, т.е. Sn integral (a;b) f(x) dx при n 2)Если
каждому действительному
числу поставлен
в соответствие
его синус, то
говорят, что
задана функция
синус (обозначение
y=sin
x). Свойства
функции синус
1)
Область определения
функции синус
является
множество
всех действительных
чисел, т.е. D(y)=R.
Каждому действительному
числу х соответствует
единственная
точка единичной
окружности
Px,
получаемая
поворотом
точки P0(1;0)
на угол, равный
х радиан. Точка
Рх имеет ординату,
равную sinx.
Следовательно,
для любого
х определено
значение функции
синус. 2)
Множеством
значений функции
синус является
промежуток
[-1;1],
т.е.
E(y)=[-1;1].
Это
следует из
определения
синуса: ордината
любой точки
единичной
окружности
удовлетворяет
условию –1 <=
Ypx<=1,
т.е. –1<=sin
x<=1
3)Функция
синус является
нечётной, т.е.
для любого
х принадлежащего
R
выполняется
равенство
sin(-x)=-sinx.
Пусть точка
Рх получена
при повороте
точки Р0 на х
радиан, а точка
Р-х получена
при повороте
точки Р0 на –х
радиан (рис
43). Треугольник
ОрхР-х является
равнобедренным;
ON-биссектриса
угла РхОР-х,
значит, ON
является медианой
и высотой,
проведённой
к стороне РхР-х.
Следовательно,
PxN
= P-xN, т.е.
ординаты точек
Рх и Р-х одинаковы
по модулю и
противоположны
по знаку. Это
означает, что
sin(-x)=-sinx.
4)
Функция синус
является
периодической
с периодом
2ПиR,
где R-
целое. Кроме
0. Наименьшим
положительным
периодом синуса
является число
2Пи. Каждому
действительному
числу вида
x+2ПиR,
где R
принадлежит
Z,
соответствует
единственная
точка единичной
окружности
Рх + 2ПиR,
получаемая
поворотом
точки Р0(1;0) на
угол x+2ПиR
имеет ординату,
равную sinx
или sin(x+2ПиR).
Таким образом,
sin(x+2ПиR)=sinx.
Этим показано,
что числа вида
2ПиR,
где R-
целое, кроме
0, являются
периодом функции.
При R=1
имеем sin(x+2Пи)=sinx,
следовательно,
число 2Пи также
является периодом
функции синус.
Покажем, что
2Пи-наименьшее
положительное
число, являющееся
периодом функции
синус. Пусть
Т – положительный
период функции
синус; тогда
sin(x+T)=sinx
при любом х.
Это равенство
верно и при
x=
Пи.2,
т.е.
sin(пи/2
+ T)=sin Пи/2
= 1. Но
sinx=1,если
x=
Пи/2
+ 2Пиn,
где n
принадлежит
Z.
Наименьшее
положительное
число вида
2Пиn
есть 2Пи. 5)
Функция синус
принимает
значение нуль
при x=ПиR,
где R
принадлежит
Z.
Решением
уравнения
sinx=0
являются числа
x=ПиR,
где R
принадлежит
Z.
6)
Функция синус
принимает
положительные
значения при
2ПиR |