Xreferat.ru » Рефераты по математике » Квадратные корни

Квадратные корни

alt="" width="26" height="25" align="BOTTOM" border="0" />

Доказательство.

Пусть числа а и b неотрицательны.

Тогда по правилу возведения в степень имеем


2 = = а b


Кроме того, – неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел и . Поэтому =

Пример 1. Найдем значения выражения

Решение.

Мы имеем = 25, = 16, = 0,01,

и потому = 25160,01= 4.

Аналогично доказывается, что =

Теорема 2. Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т.е. при а 0 и b > 0 имеем

Теорема 3. При любом значении а и при любом b 0 верно равенство


6. Преобразование выражений


При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:


= ,

где А2 В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А2 – В 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства в квадрат. В левой части имеем А , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем


2 + =

= А 2 = А 2 =

= А 2 = А 2 = А .


Таким образом, квадраты обеих частей равенства оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.

Пример 1. Упростить выражение .

1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =

= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле


= = .


2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:


5 – = = =

== = .

Поэтому = =

Пример 2. Упростить выражение

1-й способ:


= + =


= + =


2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:



Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Ответ: 10.

Пример 4. Упростить

Решение.

1.

2.

3.

Ответ:

Пример 5. Какое из чисел больше: или ?

Решение.

Очевидно, что

Оценим сумму

Так как , а , то

Ответ:


7. Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком


Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.

Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an.

Удвоить an.

Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.

Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.

Сравнить полученное число с нулём.

Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1, которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.

Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.

После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.

  1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

  2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

  3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

  4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

  5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.

  6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.


Пример. Извлечём корень .

1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.

3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:

Ї 81

18… ЇЇЇЇЇ549ЇЇЇЇЇ

К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.

Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.


Заключение


Данная работа посвящена квадратным корням. Рассмотрены правила действий с квадратными корнями, способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни, геометрические приложения. В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования выражений с ними. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня.

Таким образом, цель достигнута, задачи выполнены.


Список использованных источников


  1. Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.

  2. Алгебра: Учеб. для 8 х кл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко и др. – Мн.: Нар. асвета, 1994.

  3. Петраков И.С. «Математические кружки в 8–10 классах»: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта+плюс. 2004 г.