Графические работы на уроках стереометрии в средней школе

|| b. По признаку параллельности прямых: с || m, тогда они задают некоторую плоскость β. По условию , значит, они тоже задают плоскость, которая совпадает с α. Следовательно, все прямые, параллельные b и пересекающие а лежат в плоскости, которая в свою очередь параллельна b (по признаку параллельности прямой и плоскости).

2.07. В тетраэдре ABCD точки K, F, N и M – середины ребер соответственно AD, BD, BC и AC (рис. 20). Заполните таблицу, выбрав (обведя в кружок) определенное вами расположение указанных прямой и плоскости: А – пересекаются, Б – параллельны, В – прямая лежит в плоскости, Г – невозможно определить:

	Прямая и плоскость	Взаимное расположение
1	BD и AMN	А Б В Г
2	MN и ABC	А Б В Г
3	KC и DMN	А Б В Г
4	MN и ABD	А Б В Г
5	KF и DMN	А Б В Г
6	FN и KMF	А Б В Г
7	CF и AND	А Б В Г
8	FN и DMK	А Б В Г

3.01. Сделайте чертеж: Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ – общую прямую b, а плоскости β и γ – общую прямую с. Прямые а и b параллельны (рис. 21).

3.02. Сделайте чертеж: Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ – общую прямую b, а плоскости β и γ параллельны (рис. 22).

3.03. Сделайте чертеж: Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости α. Через вершину А и точку М – середину стороны АС – проведены соответственно плоскости β и γ, пересекающие плоскость ∆АВС по прямым АК и МТ (рис. 23).

3.04. В тетраэдре РАВС проведено сечение А₁В₁Р₁, параллельное грани АВР. Определите взаимное расположение медиан РЕ и Р₁Е₁ треугольников соответственно АВР и А₁В₁Р₁ (рис. 24).

Решение: Рассмотреть 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание. Итог: РЕ || Р₁Е₁.

3.05. Постройте сечение треугольной пирамиды РАВС плоскостью, которая проходит через внутреннюю точку К основания АВС и параллельна грани РАВ (рис.25).

Решение: Плоскость сечения проходит через точку К, пересекает грани АРС, СРВ и АВС пирамиды и параллельна АРВ. Следовательно, прямые пересечения с гранями параллельны соответствующим ребрам грани АРВ. Построение следует начать с нижнего основания через известную точку К. Далее через полученные точки пересечения с ребрами АС и ВС провести параллельные прямые АР и ВР соответственно.

5.2. Уроки применения знаний, умений и навыков

1.05. Докажите, что середины ребер АР, СР, ВС и АВ тетраэдра РАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой служат эти точки (модификация задачи, приведенной в пункте 4.2.3).

1.06. Треугольник АВС лежит в плоскости α. Через его вершины проведены параллельные прямые, не лежащие в плоскости α. На них отложены равные отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ по одну сторону от α. Докажите, что ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ равны (рис. 26).

Решение: Используется: способ задания плоскости через параллельные прямые (попарное рассмотрение заданных параллельных прямых); определение параллелограмма (достаточно равенства и параллельности одной пары противолежащих сторон (по условию)); условие равенства треугольников по трем сторонам.

1.07. Прямая АВ пересекает плоскость α. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А₁, В₁ и С₁. Рассмотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость α (рис. 27а); 2) отрезок АВ пересекает α (рис. 27б). В каждом случае найдите: а) длину отрезка СС₁, если: АА₁ = 7, ВВ₁ = 5; б) длину отрезка АА₁, если ВВ₁ = 7, СС₁= 11.

Решение: а) Точки А, В и С лежат на одной прямой (из пересечения параллельных прямых с прямой АВ и плоскостью α). В₁С₁ = С₁А₁ (по теореме Фалеса). СС₁ – средняя линия трапеции АА₁ВВ₁.

1. 

2. 

б) Сделаем выносной рисунок пересечения АВ и А₁В₁ и проведем через точку В прямую, параллельную прямой А₁В₁ (рис. 27в).

A₁L = 5 (т.к. BL || A₁B₁)

CL₁ – средняя линия в ∆АLВ

1. 

2. 

1.08. Через вершины А, В, С и D параллелограмма ABCD, расположенного в одном полупространстве относительно плоскости α, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость α соответственно в точках А₁, В₁, С₁, D₁, О₁, М₁. Найдите ММ₁, ОО₁ и DD₁, если АА₁ = 17, СС₁ = 5, ВВ₁ = 15 (рис. 28).

Решение: В задаче используется выделение фигуры из состава чертежа, чертеж рассматривается с разных точек.

АСС₁А₁ – трапеция (параллельные прямые АА₁ и ВВ₁ задают плоскость). ОО₁ – средняя линия трапеции: .

BDD₁B₁ – трапеция: .

ОСС₁О₁ – трапеция.

ОМ = ОС (свойство пересечения медиан треугольника), О₁М₁ = О₁С₁ (аналогично). Следовательно, .

1.09. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 29).

Решение: ML || DB, NK || DB (как средние линии треугольников ADB и CDB соответственно), ML = NK. NMLK – параллелограмм (параллельные прямые задают плоскость). Из свойства диагоналей треугольника следует, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказательства для ОР аналогично.

2.08. В правильном тетраэдре DABC, все ребра которого равны 6, точка К лежит на ребре BD так, что DК = 2; точка М лежит на ребре ВС так, что ВМ = 4; точка Р – середина ребра АВ. а) Докажите, что КМ параллельна плоскости ADC. б) Докажите, что РМ не параллельна плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точке L. Найдите длину LK. г) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р и К параллельно АС (рис.30).

Решение: а) По теореме Фалеса: DC ||КМ. По признаку параллельности прямой и плоскости: (АDC) ||КМ.

б) РМ не параллельна АС (СМ≠АР), следовательно, они пересекаются, так как лежат в одной плоскости. Тогда, РМ не параллельна плоскости ADC.

в) По теореме Фалеса: DL = 3. Тогда, LK = 1.

г) (PKS) – искомое сечение, где PS – средняя линия треугольника АВС.

2.09. Основанием правильной четырехугольной пирамиды PABCD является параллелограмм ABCD. Постройте ее сечение плоскостью, проходящей через АВ и точку К, лежащую в грани: а) ВСР (рис. 31а); б) DCP (рис. 31б). Какая фигура получается в сечении?

В обоих случаях – равнобокая трапеция.

2.10. Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, b и с. Всегда ли существует плоскость: а) параллельная каждой из этих прямых (рис. 32а); б) пересекающая каждую из них (рис. 32б)? Ответ обоснуйте и выполните соответствующий рисунок.

Решение: а) Плоскость, параллельная каждой из скрещивающихся прямых существует, если данные прямые лежат в параллельных плоскостях.

б) Плоскость, пересекающая каждую из скрещивающихся прямых, существует, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости, которая пересекает каждую из данных прямых.

2.11. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅, Р₆, Р₇, Р₈ – середины ребер соответственно АВ, ВВ₁, В₁А_1, А₁А, CD, СС₁, С₁D₁, DD₁. Каково взаимное положение таких прямых и плоскостей, как: а) Р₃Р₄ и Р₁Р₂Р₆ (рис. 33а); б) Р₇Р₈ и Р₁Р₂Р₆ (рис. 33б); в) Р₄Р₇ и Р₁Р₂Р₅ (рис. 33в); г) Р₁Р₆ и АВ₁D (рис. 33г); д) АС и Р₃Р₄Р₅ (рис. 33д); е) BD и Р₃Р₄Р₅ (рис. 33е)?

Решение: а) Р₃Р₄ || (Р₁Р₂Р₆) (признак параллельности прямой и плоскости);

б) Р₇Р₈ || (Р₁Р₂Р₆) (признак параллельности прямой и плоскости);

в) Р₄Р₇ (Р₁Р₂Р₅) (при параллельном проектировании Р₄Р₇ на вектор прямая пересечет плоскость Р₁Р₂Р₅);

г) Р₁Р₆ || (АВ₁D) (дополним плоскость АВ₁D до плоскости АВ₁С₁D; при параллельном проектировании Р₁Р₆ на вектор прямая будет лежать в плоскости АВ₁С₁D, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная Р₁Р₆);

д) АС || (Р₃Р₄Р₅) (дополним плоскость Р₃Р₄Р₅ до Р₃Р₄Р₆Р₅; при параллельном проектировании АС на вектор прямая перейдет в диагональ параллелограмма Р₃Р₄Р₆Р₅, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная АС);

е) BD Р₃Р₄Р₅ (при параллельном проектировании BD на вектор прямая пересечет плоскость Р₃Р₄Р₅).

0. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, P и Q – внутренние точки граней соответственно ABCD и A₁B₁C₁D₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P и Q и параллельной прямой СС₁ (рис. 34).

Решение: Проведем прямые PР₁ и QQ₁, параллельные СС₁. Они задают плоскость, параллельную СС₁ и проходящую через точки P и Q.

2.13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁; точка Р – середина ребра АА₁. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р и D₁ параллельно диагонали АС грани ABCD куба (рис. 35). Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10.

Решение: АС₁ || (РВ₁D₁) (в этом можно убедиться, применив свойство диагоналей в параллелограмме A₁B₁C₁D₁ и теорему Фалеса к треугольнику АА₁С₁). По теореме Пифагора: . По формуле Герона: .

2.14. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости (рис. 36).

Решение: Пусть прямые а и b скрещиваются. Выберем на прямой а произвольно точку А и проведем прямую с, параллельную b (через точку, не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной). Прямые а и с задают плоскость β. По признаку параллельности прямой и плоскости: b || β. Аналогично, проведем прямую d в плоскости α.

α || β (если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

3.06. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α, которая проходит через внутреннюю точку М основания ABCDE параллельно грани РAB (рис. 37).

Решение: Так как прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость α параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания пирамиды должна быть параллельна АВ; б) прямая пересечения α с плоскостью грани РВС – параллельна АР; в) прямая пересечения α с плоскостью РАD – параллельна РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || AB; 2) FH || PA; 3) KR || PB; 4) ML || AP. Пятиугольник HLRKF – искомое сечение. В доказательстве используется признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.

3.07. Точки А, В и С лежат в плоскости α и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ расположены по одну сторону от плоскости α. Докажите, что (А₁В₁С₁) || (АВС) (рис. 38).

Решение: ВВ₁С₁С – параллелограмм (из параллельности и равенства ВВ₁ и СС₁), следовательно ВС || В₁С₁. АВ || А₁В₁ (аналогично). По теореме о параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым): (А₁В₁С₁) || (АВС).

3.08. Точка В не лежит в плоскости ΔAEC, точки М, К и Р – середины отрезков соответственно АВ, ВС и ВЕ (рис.39). а) Докажите, что плоскости МКР и АЕС параллельны. б) Найдите площадь ΔМКР, если площадь ΔAEC равна 48 см².

Решение: а)Заметим, что ΔAEC и не лежащая в нем точка В образуют тетраэдр ВАСЕ. МК || АС (МК – средняя линия ΔAВC). КР || СЕ (КР – средняя линия ΔВCЕ). По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (МКР)||(АСЕ).

б) По формуле Герона:

, как средние линии соответствующих треугольников. Подставим данные значения в формулу: . Отсюда .

3.09. Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны (рис. 40).

Решение: Каждые две пересекающиеся прямые задают плоскость (через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну). Так как точка пересечения делит прямые пополам, то по теореме Фалеса: А₁В₁ || В₂А₂. Аналогично доказывается параллельность С₁В₁ и С₂В₂, А₁В₁ и А₂В₂. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (А₁В₁С₁)||(А₂В₂С₂).

3.10. Прямая DF пересекает параллельные плоскости α, β и γ соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3, ЕF = 9 (рис. 41). Прямая EG пересекает плоскости α и γ соответственно в точках G и Н, при этом EG = 12. Найдите длину GН.

Решение: Прямые EF и ЕH задают плоскость EFH, которая пересекает плоскости α и γ по прямым GD и FH соответственно. ∆GED ~∆HEF (так как GD || FH, ). По свойству преобразования подобия: . Тогда .

3.11. Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 42). Через точки А и В, расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости β и параллельные между собой прямые АС и BD (), а также – параллельно плоскости α и параллельные между собой прямые АЕ и BF (). Докажите: а) плоскости АСЕ и BDF параллельны; б) плоскости АСЕ и BDF пересекают плоскости α и β по параллельным прямым.

Решение: а) GА || DB, АЕ || FВ по условию. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (АСЕ) || (DBF).

б) BF и АЕ задают плоскость, параллельную плоскости α. По свойству параллельных плоскостей: EF || с. Аналогично CD || c. По признаку параллельности прямых: CD || EF.

5.3. Уроки проверки знаний, умений и навыков

Для проверки знаний, умений и навыков разработаны три задачи на выявление типов оперирования пространственными образами: изменение пространственного положения образа (I тип); преобразование структуры образа (II тип); изменение положения и структуры образа одновременно (III тип).

I вариант

1. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁ и D₁. Докажите, что четырехугольник А₁В₁С₁D₁ тоже параллелограмм (рис. 43).

Решение: АА₁ = DD₁ = СС₁ = ВВ₁ (отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны). Попарно параллельные прямые задают параллелограммы (задание плоскости через параллельные прямые), следовательно D₁А₁ || DА || СВ || С₁В₁. По определению А₁В₁С₁D₁ параллелограмм.

2. Докажите, что через любую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой (модификация задачи 2.14).

3. Даны две параллельные плоскости, точка вне этих плоскостей и окружность в одной из этих плоскостей (рис. 44). Через каждую точку Х окружности и данную точку проводится прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке Х₁. Что представляет собой геометрическое место точек Х₁?

Решение: Заметим, что при данном преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз (рассмотрение двух пересекающихся прямых и обобщение на множество прямых, обладающих данным свойством). Данный факт и указанный способ преобразования дает основание считать, что геометрическим местом точек Х₁ является окружность, гомотетичная данной, с коэффициентом гомотетии .

II вариант

1. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекает плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 45).

Решение: Используется метод, подобный задаче 1 I варианта. Указание: Две пересекающиеся прямые задают плоскость – параллелограмм, в котором они являются диагоналями.

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD (пример 9).

3. Даны две параллельные плоскости, пересекающая их прямая и окружность в одной из плоскостей (рис. 46). Через каждую точку Х окружности проводится прямая, параллельная данной прямой и пересекающая вторую плоскость в некоторой точке Х₁. Что представляет собой геометрическое место точек Х₁?

Решение: Аналогично задаче 3 I варианта, но с применением подобия фигур.

Заключение

Дидактические материалы разрабатывались в соответствии с показателями, характеризующими пространственное мышление. По своему содержанию:

• Обеспечивали выявление не только конечного результата выполнения задания, но и процесса его достижения; при этом были довольно краткими, не требовали для своего решения больших временных затрат;

• Составлялись на различном графическом материале и предполагали в основном оперирование формой, величиной изображаемых объектов, их пространственным положением.

Использование этого материала позволяет наиболее адекватно характеризовать пространственное мышление по интересующим показателям и вместе с тем сделать эти задания учебными по содержанию. Задания включают все основные типы оперирования, описанные в работе, и составляют определенный ряд, восходящий от простых преобразований с опорой на восприятие ко все более сложным, осуществляемым в уме, что определяло и порядок их предъявления. При этом учитывался характер графической основы, степень ее обобщенности, условности.

Приведенные в курсовой работе материалы показывают, что графические работы в стереометрии играют большую роль в формировании пространственного (образного) мышления учащихся, как компонента сложного интеллектуального образования.

В работе раскрывается содержание, структура и функции пространственного мышления, формируемого на графической основе; описываются дидактические условия составления заданий на выявление наличных возможностей учащихся в создании геометрических образов, их коррекции и развитии в нужном направлении.

Считаю, что поставленные цели и задаче в работе достигнуты.

Библиографический список

1. Бакин, Р. А. Методика формирования пространственного образа при помощи компьютерной анимации [Текст]: диплом / Р. А. Бакин. – Киров: 2005.

2. Геометрия [Текст]: учеб. для 10 – 11 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. – 2-ое изд. – М.: Просвещение, 1993. – 207 с.: ил.

3. Геометрия. 10 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. Учреждений с углубл. И профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – М.: Дрофа, 2003. – 224 с.: ил.

4. Геометрия. 10 кл. [Текст]: задачник для общеобразоват. Учреждений с углубл. И профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – М.: Дрофа, 2003. – 256 с.: ил.

5. Зеленина, Н. А. Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе [Текст]: диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук / Н. А. Зеленина. – Киров: 2004. – 158 с.

6. Повышение эффективности обучения математике в школе [Текст]: кн. Для учителя: из опыта работы / Г. Д, Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. – 240 с.

7. Погорелов, А. В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. – 2-ое изд. - М.: Просвещение, 1991. – 384 с.: ил.

8. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучения [Текст]: кн. для учителя / Л. М. Фридман. – М.: Знание, 1984. – 80 с.: ил.

9. Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования [Текст]: учебное пособие / И.С. Якиманская. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 320 с.

1 Термин «представливание» был введен Б. М. Тепловым для описания сложной интеллектуальной деятельности по созданию образов и оперированию ими. В дальнейшем он стал широко использоваться для обозначения процесса преднамеренного, произвольного воспроизведения образа и мысленного оперирования им при решении графических задач.