Практическое применение статистических методов
Задача № 1
Имеются следующие данные 25 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции:
Таблица 1.1
| № предприятия | Объем произведенной продукции, млн. руб. | Валовая прибыль, млн. руб. |
| 1 | 653 | 45 |
| 2 | 305 | 11 |
| 3 | 508 | 33 |
| 4 | 482 | 27 |
| 5 | 766 | 55 |
| 6 | 800 | 64 |
| 7 | 343 | 14 |
| 8 | 545 | 37 |
| 9 | 603 | 41 |
| 10 | 798 | 59 |
| 11 | 474 | 28 |
| 12 | 642 | 43 |
| 13 | 402 | 23 |
| 14 | 552 | 35 |
| 15 | 732 | 54 |
| 16 | 412 | 26 |
| 17 | 798 | 58 |
| 18 | 501 | 30 |
| 19 | 602 | 41 |
| 20 | 558 | 36 |
| 21 | 308 | 12 |
| 22 | 700 | 50 |
| 23 | 496 | 29 |
| 24 | 577 | 38 |
| 25 | 688 | 49 |
С целью изучения зависимости между объемом произведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.
По каждой группе и совокупности предприятий подсчитайте:
число предприятий;
объем произведенной продукции – всего и в среднем на одно предприятие;
валовую прибыль – всего и в среднем на одно предприятие.
Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте краткие выводы.
Решение:
1. Произведем группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.
Определим размах вариации: R = Xmax- Xmin = 800-305 = 495
Длина интервала:
Группировку произведем в таблице 1.2.
Таблица 1.2
| № п/п | Группы | № банка | Объем произведенной продукции, млн. руб. | Валовая прибыль, млн. руб. | ||
| средний | средняя | |||||
| 1 | 305-404 | 2 | 305 | 339,5 | 11 | 15 |
| 21 | 308 | 12 | ||||
| 7 | 343 | 14 | ||||
| 13 | 402 | 23 | ||||
|
Итого: |
4 |
1358 |
60 |
|||
| 2 | 405-503 | 16 | 412 | 473,0 | 26 | 28 |
| 11 | 474 | 28 | ||||
| 4 | 482 | 27 | ||||
| 23 | 496 | 29 | ||||
| 18 | 501 | 30 | ||||
|
Итого: |
5 |
2365 |
140 |
|||
| 3 | 504-602 | 3 | 508 | 557,0 | 33 | 36,667 |
| 8 | 545 | 37 | ||||
| 14 | 552 | 35 | ||||
| 20 | 558 | 36 | ||||
| 24 | 577 | 38 | ||||
| 19 | 602 | 41 | ||||
|
Итого: |
6 |
3342 |
220 |
|||
| 4 | 603-701 | 9 | 603 | 657,2 | 41 | 45,6 |
| 12 | 642 | 43 | ||||
| 1 | 653 | 45 | ||||
| 25 | 688 | 49 | ||||
| 22 | 700 | 50 | ||||
|
Итого: |
5 |
3286 |
228 |
|||
| 5 | 702-800 | 15 | 732 | 778,8 | 54 | 58 |
| 5 | 766 | 55 | ||||
| 10 | 798 | 59 | ||||
| 17 | 798 | 58 | ||||
| 6 | 800 | 64 | ||||
|
Итого: |
5 |
3894 |
290 |
|||
|
Всего: |
25 |
14245 |
938 |
|||
Выводы:
Разбив на 5 групп по объему произведенной продукции банки получили, что:
Самая многочисленная группа 3, с количеством входящих в неё шести банков, самая малочисленная – 1, в неё входит 4 банка.
По объему произведенной продукции в общем и среднем, валовой прибыли и средней валовой прибыли на одно предприятие лидирует пятая группа, а первая – наименее эффективна.
Данные показывают, что при увеличении объема произведенной продукции валовая прибыль увеличивается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
Задача № 2
Имеются следующие данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию:
Таблица 2.1
| Номер завода | Январь | Февраль | ||
| затраты времени на единицу продукции, час | изготовлено продукции, шт | затраты времени на | ||
| единицу продукции, час | всю продукцию, час | |||
| 1 | 2 | 160 | 1,8 | 420 |
| 2 | 2,8 | 180 | 2,4 | 440 |
Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите виды средних величин, используемых в решении задач.
Решение:
Для января статистические данные представлены количеством выпущенной продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней арифметической взвешенной:
=
,
где х - затраты времени на единицу продукции, час.
f - изготовлено продукции, шт.
=
час.
Для февраля статистические данные представлены затратами времени на весь выпуск продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:
=
,
где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f.
=
На заводе №1 в январе затраты времени на единицу продукции были снижены с 2 до 1,8 часа. На заводе №2 в 1993 г. затраты времени на единицу продукции были снижены с 2,8 до 2,4 часа.
В среднем по двум заводам затраты времени снизились с 2,424 до 2,0,64 часа, что практически обусловлено снижением эффективности производства на заводах.
Задача № 3
В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:
Таблица 3.1
| Стаж рабочих, лет | Число рабочих, чел |
|
До 5 От 5 до 10 От 10 до 15 От 15 до 20 От 20 до 25 Свыше 25 |
5 10 35 25 15 10 |
| Итого | 100 |
На основании этих данных вычислите:
Средний стаж рабочих цеха.
Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
Коэффициент вариации.
С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Сделайте выводы.
Решение:
Для вычисления средней величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.
В закрытом интервале серединное значение определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Расчет среднего квадратического отклонения
| Стаж рабочих, лет | Число рабочих, чел. f | х | xf |
|
( |
( |
| До 5 | 5 | 2,5 | 12,5 | -13,25 | 175,563 | 877,813 |
| 5-10 | 10 | 7,5 | 75 | -8,25 | 68,0625 | 680,625 |
| 10-15 | 35 | 12,5 | 437,5 | -3,25 | 10,5625 | 369,688 |
| 15-20 | 25 | 17,5 | 437,5 | 1,75 | 3,0625 | 76,5625 |
| 20-25 | 15 | 22,5 | 337,5 | 6,75 | 45,5625 | 683,438 |
| св. 25 | 10 | 27,5 | 275 | 11,75 | 138,063 | 1380,63 |
|
Итого: |
100 |
- |
1575 |
- | - |
4068,75 |
Определим средний стаж рабочих цеха:
=
=
= 15,75 лет.
Определим среднее квадратическое отклонение:
σ =
= 6,379 лет.
Дисперсия
признака σ2
=
= 40,688 лет.
Определим коэффициент вариации
V =
%
Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:
Δх
= t
При
=
3μ
и p = w3μ
степень вероятности
повышается
до 0,997.
Таким образом:
t = 3
σ2= 40,688 - дисперсия признака;
n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;
- это 10%-ная
механическая
выборка.
Δх
= t
Доверительные интервалы для средней будут равны:
–
Δх
+
Δх .
=15,75
лет.4,574
года. или
15,75-4,5715,75+4,57
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.
Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:
Δw
= t
.
При
=3μ
и p = w3μ
степень вероятности
повышается
до 0,997.
Таким образом:
t = 3;
n = 100 - численность рабочих цеха;
- это 10%-ная
механическая
выборка;
Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
25+35=0,6 или 60%,
100
т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.
Δw
= t
или 13,9%.
Доверительные интервалы для доли будут равны:
p = w
Δw .
p = 60%
13,9%,
тогда 60% – 13,9%
p
60% + 13,9%.
Доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.
Задача № 4
Численность населения России характеризуется следующими данными:
Таблица 4.1
| Годы | На начало года, тыс. чел |
|
1997 2002 2003 2004 2005 2006 2007 |
148041 148306 147976 147502 147105 146388 145500 |
Для анализа численности населения России за 2002-2007 гг. определите:
Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году.
Полученные показатели представьте в таблице.
Среднегодовую численность населения России.
Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг. и за 1997-2002 гг.
Постройте график динамики численности населения России.
Сделайте выводы.
Решение:
Определим абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели представим в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста
| Годы |
На начало года, тыс. чел уi |
Абс. приросты, млн.тонн | Темпы роста | Темпы прироста, % | |||
| цепные | базисные (к 2002г) | цепные | базисные (к 2002г) | цепные | базисные (к 2002г) | ||
|
|
уi – y2002 |
k =
|
k =
|
Δkц = kц % – 100 |
Δkб = k % – 100 |
||
| 1997 | 148041 | 265 | -265 | 1,002 | 0,998 | 0,2% | -0,2% |
| 2002 | 148306 | - | - | - | - | - | - |
| 2003 | 147976 | -330 | -330 | 0,998 | 0,998 | -0,2% | -0,2% |
| 2004 | 147502 | -474 | -804 | 0,997 | 0,995 | -0,3% | -0,5% |
| 2005 | 147105 | -397 | -1201 | 0,997 | 0,992 | -0,3% | -0,8% |
| 2006 | 146388 | -717 | -1918 | 0,995 | 0,987 | -0,5% | -1,3% |
| 2007 | 145500 | -888 | -2806 | 0,994 | 0,981 | -0,6% | -1,9% |
yц
= уi
– yi-1
2. Определим среднегодовую численность населения России за 2002-2007 гг.:
За 2002-2007 гг. мы имеем интервальный ряд динамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовую численность населения исчислим по формуле средней арифметической простой:
=
=
=
=
147129,5тыс.чел.
где у – уровни ряда
n – число уровней ряда.
3. Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг.
Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:
=
=
,
где n – число цепных темпов роста;
за 2002-2007 гг.: =
=
=0,996
или 99,6%.
Среднегодовой темп роста численности населения России за 2002-2007 гг. равен 99,6 %.
Среднегодовой темп прироста за 2002-2007 гг. исчисляется следующим образом:
Δ = % – 100%=99,6–100=0,4%.
Таким образом, численность населения России за период 2002-2007 гг. уменьшалось за год в среднем на 0,4%.
Выводы: численность населения России по данным таблицы 4.1. в 2002 году повысилась по сравнению с 1997 годом на 265 тыс.чел. или на 0,2%. Затем вплоть до 2007 года снижалось в среднем на 0,4% за год.
Задача № 5
Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.):
Таблица 5.1
| 01.01. | 01.02. | 01.03. | 01.04. | 01.05. | 01.06. | 01.07. | |
| Стоимость имущества, млн. руб. | 62 | 68 | 65 | 68 | 70 | 75 | 78 |
Определите среднегодовую стоимость имущества:
за I квартал;
за II квартал;
за полугодие в целом.
Решение:
Среднегодовая стоимость имущества рассчитывается по формуле средней арифметической простой:
За I квартал:
=
= 66 млн. руб.
За II квартал:
=
= 72,667 млн. руб.
За полугодие
в целом:
=
= 69,333 млн. руб.
Задача № 6
Динамика средних цен и объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными:
Таблица 6.1
| Наименование товара | Продано товаров за период, тыс. кг | Средняя цена за 1 кг за период, руб. | ||
| базисный | отчетный | базисный | отчетный | |
|
Колхозный рынок № 1: Картофель Свежая капуста |
6,0 2,5 |
6,2 2,4 |
8,0 15,0 |
8,5 19,0 |
|
Колхозный рынок №2: Картофель |
12,0 | 12,8 | 7,5 | 8,0 |
На основании имеющихся данных вычислите:
Для колхозного рынка № 1 (по двум видам товаров вместе):
а) общий индекс товарооборота в фактических ценах;
б) общий индекс цен;
в) общий индекс физического объема товарооборота.
Определите в отчетном периоде прирост товарооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цен и объема продаж товаров).
Покажите взаимосвязь начисленных индексов.
Для двух колхозных рынков вместе (по картофелю):
а) индекс цен переменного состава;
б) индекс цен постоянного состава;
в) индекс влияния изменения структуры объема продажи картофеля на динамику средней цены.
Решение:
1. Для колхозного рынка № 1 определим индивидуальные индексы:
По товару
Картофель: ip
=
=
= 1,033 или 103,3%,
iq
=
=
= 1,063 или 106,3%,
По товару
Свежая капуста:
ip =
=
= 0,960 или 96%,
iq
=
=
= 1,267 или 126,7%.
Таблица 6.2
Индивидуальные индексы для товаров колхозного рынка №1
| Индивидуальные индексы | Продано товаров за период, тыс. кг | Средняя цена за 1 кг за период, руб. |
| Картофель | 1,033 | 1,063 |
| Свежая капуста | 0,960 | 1,267 |
Таким образом:
цены на картофель выросли в отчетном году на 6,3%;
объем продаж по картофелю увеличился на 3,3%.
цены на свежую капусту выросли в отчетном периоде на 26,7%;
свежей капусты было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 4% меньше.
а) Чтобы определить изменение товарооборота в фактических ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:
Ipq
=
=
=
= 1,150 или 115,0%.
Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:
Δpq
=
–
=
98,3-85,5 = 12,8 (тыс. руб.).
Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 15% или на 12,8 тыс.руб.
б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим образом:
Ip
=
=
=
= 1,148 или 114,8%.
Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:
Δpq(p)
=
–
=
98,3-85,6 =12,7 (тыс. руб.).
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 12,7 тыс. рублей за счет увеличения цен на 14,8%.
в) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров, примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость каждого товара:
Iq
=
=
=
=
1,001 или 100,1%,
Разность между числителем и знаменателем индекса