Финансовые функции и рекурсия

Министерство образования РФ

Тульский государственный педагогический университет

имени Л.Н. Толстого

Кафедра информатики

Дипломная работа

"Финансовые функции" и рекурсия

Выполнил:

Научный руководитель:

Тула-2000

План

Введение

Динамика вклада

Задача о величине вклада

Задача о величине вклада после снятия денег в конце каждого периода

Задача о величине вклада после внесения (снятия) денег в конце или начале каждого периода

Задача о изменяющихся процентных ставках

Задача о изменяющихся процентных ставках и величинах снимаемых денег

Дисконтирование. Инвестиции. Консолидирование

Задача о дисконтировании

Задача о инвестировании проекта

Задача о консолидировании платежей

Платежи

Задача о равных платежах в конце каждого периода

Задача о платежах с одинаковой современной стоимостью

Задача о платежах на проценты

Разные задачи

Задача о величине процентной ставки

Задача о величине процентной ставки 2

Задача о количестве периодов для расчета заемщика с банком

Задача о суммарной способности к кредитованию

Задача о минимальном количестве банков

Задача о изменении величины суммарного кредитования

Заключение

Литература

Введение

В электронные таблицы Excel, систему управления базами данных Access, язык программирования Visual Basic и многие другие современные компьютерные технологии встроены так называемые “финансовые функции”: fv(), pv(), pmt(), ppmt(), ipmt(), rate(), nper() и т.д. В повседневной жизни с задачами, в которых они могут быть использованы, приходится сталкиваться достаточно часто. Это заставляет преподавателей информатики педагогических вузов не только знакомить студентов различных специальностей с синтаксисом и семантикой этих функций, но и уделять особое внимание поиску новых методик и технологий обучения, ориентированных на прочное усвоение соответствующих знаний. И здесь на помощь может прийти рекурсия, с помощью которой строятся лаконичные и легко понимаемые алгоритмы, а затем и соответствующие информационные модели в виде рекурсивных программ на том или ином языке программирования [9, 10]. И что особенно важно, набор упомянутых финансовых функций и рекурсивные алгоритмы их вычисления могут служить весьма подходящим фоновым материалом для начального освоения студентами рекурсии как достаточно общего и эффективного метода решения практических задач.

Заметим, что вычисление значений финансовых функций с помощью электронных таблиц Excel или других пакетов прикладных программ можно признать целесообразным лишь при уже полностью сформированном понимании их синтаксиса и семантики. Но при первом знакомстве с этими и другими функциями рекурсивный подход в полной мере демонстрирует все свои дидактические преимущества по сравнению с простым описанием функций и решением по ним соответствующих прикладных задач. Он дает возможность не только всесторонне понять содержание излагаемого материала, но сделать это быстро и эффективно. И что особенно важно, полученные знания становятся достоянием долговременной памяти. Последний вывод убедительно подтверждается результатами проверочной работы, проведенной в двух группах студентов через год после ознакомления их с финансовыми функциями. Результаты эти оказались и удивительными, и убедительными. Более 36 процентов студентов, которым материал преподносился традиционно, с предъявленным заданием не справились. В то же самое время в группе, осваивавшей этот же материал с использованием рекурсии, с заданием не справились лишь 12 процентов студентов (3 человека). Столь разительное различие в уровне усвоения знаний в экспериментальной и контрольной группах заставляет нас по-новому оценить дидактические возможности рекурсии и осознать её роль и место в построении современного курса информатики в педагогических вузах. И эта роль, по-видимому, будет возрастать вместе с дальнейшим развитием компьютерной техники и программного обеспечения. В связи с этим главной задачей данной дипломной работы является разработка методик решения финансовых задач рекурсивными методами и их практическая реализация в виде обучающей программы (Web-узла) по данной теме.

При отборе материала для первоначального знакомства студентов и учащихся с рекурсивными методами решения прикладных задач, ориентированных на экономические специальности, существенную роль играют два фактора: наличие экономического содержания в этих задачах и прозрачность свойств рекурсивности рассматриваемых в них объектов. И то, и другое в полной мере может быть обеспечено рекурсивной реализацией финансовых функций.

Большой выбор содержательных задач, решаемых финансовыми функциями, можно встретить в сфере банковской деятельности [1,3-6]. Причем возникают они здесь на обслуживании всего лишь двух операций. Банк, являясь финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками (рис.1), с одной стороны, принимает деньги и платит по ним проценты, а с другой стороны, дает кредиты и получает за них проценты. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков по процентам за конкретный период, и той, которую он платит вкладчикам по процентам за этот же период, и составляет прибыль банка. Как говорил американский писатель-сатирик Генри Уилер Шоу [2, с.30] “Банковский процент не знает ни отдыха, ни богослужений, он работает и по ночам, и в воскресенье, и даже в дождливые дни”.

Рис.1. Банк как финансовый посредник между вкладчиками и заемщиками

В рассматриваемой ниже серии задач везде речь идет об обычных вкладах и сложных процентах, а решения оформлены в виде рекурсивных программ-функций на языке программирования вычислительной среды Mathcad. Все они делятся на три категории: прямые рекурсивные аналоги, частные случаи и обобщения встроенных в Excel финансовых функций. Для первой категории функций и их аргументов используются стандартные обозначения. В иных ситуациях обозначения произвольны. Наличие почти во всех задачах несложно выводимой при определенных навыках, но обычно громоздкой, конечной формулы-решения позволяет на контрольных примерах легко проверить правильность составленных для них рекурсивных программ. Отметим, что все приведенные программы, благодаря рекурсивности, весьма просты и для их написания не требуется знания соответствующих конечных формул. В дополнении к данной работе дается краткое описание Mathcad и программы Microsoft FrontPage 2000, с помощью которой был создан Web-узел.

Динамика вклада

Начнем упомянутую серию задач с рассмотрения простой и многим знакомой житейской проблемы хранения денег в банке.

Задача о величине вклада

Вкладчик положил в банк сумму в sum денежных единиц под p процентов за один период времени (год, месяц, неделя и т.д.). Составить программу-функцию, возвращающую величину вклада по истечении n периодов времени (n = 1, 2, …).

Решение. Пусть invest(sum,p,n) - искомая функция. Вычисления значений invest() можно проводить по известной формуле:

invest(sum,p,n) = sumЧ(1+p/100) n.

Однако в учебных целях нас будет интересовать рекурсивный вариант алгоритма решения задачи. Её параметризация реализована в постановке. Рекурсию будем осуществлять по параметру n. База рекурсии очевидна. В самом деле, если вклад положен на хранение и взят сразу, то есть до истечения первого периода времени начисления процентов, то возврату подлежит начальная сумма вклада - sum. Далее, декомпозиция может быть реализована исходя из следующего факта. Положить некоторую сумму в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на n – 1 период, взять и снова положить на 1 период. Соответствующий вариант программы-функции решения задачи выглядит так:

(1)

Реализуя декомпозицию иным способом, получим другой вариант рекурсивной программы (1). Например, сделаем это исходя из такого факта. Положить некоторую сумму в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на 1 период, взять и снова положить на n-1 период. Соответствующая программа-функция выглядит так:

(2)

В данной и подобной ей задачах указанные декомпозиционные посылки программно реализуются приблизительно с равной степенью сложности и, тем самым, обе имеют право на существование. Однако может возникнуть ситуация, когда предпочтение должно быть отдано той или иной конкретной посылке. Например, если в последующем имеется необходимость перейти к нерекурсивному варианту программы, то лучше пользоваться посылкой первого типа, а если есть проблемы с доказательством правильности реализуемого алгоритма, то целесообразно работать с посылкой второго типа.

Нетрудно видеть, что общее количество рекурсивных вызовов при вычислении invest(sum,p,n) и invest1(sum,p,n) равно n. Можно было бы уменьшить это значение до величины floor(log2(n)) +1, где floor(a) - целая часть натурального числа a, исходя из следующих двух декомпозиционных посылок.

Пусть сумма sum=mЧ g денежных единиц помещена на вклад при ставке в p процентов за период. Тогда через n периодов sum возрастет до той же самой величины, что и совокупная сумма m отдельных вкладов по g денежных единиц каждый, также помещенных под р процентов за период. Не ограничивая общности, величину sum можно считать целым неотрицательным числом. В противном случае можно было бы перейти к иному номиналу денежных единиц. Значения m и g также будем считать целыми числами.

Положить некоторую сумму sum в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на k (0ЈkЈn) периодов, взять и снова положить на n-k периодов.

Основанную на этих посылках рекурсивную функцию для решения задачи 1 обозначим через inv(sum,p,n). Указанные посылки обнаруживают такие свойства этой функции.

Первая посылка.

В частности, при m=1 получаем:

Первая и вторая посылки. Пусть k=floor(n/2), тогда.

Отсюда при n=2Чk сразу же получаем:

При n=2Чk+1 имеем:

Выведенные соотношения для inv() позволяют записать такую программу для её вычисления:

Общее количество рекурсивных вызовов при счете по этой программе-функции можно было бы подсчитать с помощью следующей вспомогательной рекурсивной функции:

и оно действительно равно

Контрольные примеры.

Незначительная перестройка структуры функции inv(sum,p,n) позволяет получить еще один вариант её реализации, в котором количество рекурсивных вызовов в точности равно Сделать это можно так:

Замечание. В любых ситуациях, в которых возникают вопросы о быстродействии алгоритма, желательно по возможности минимизировать общее количество рекурсивных вызовов. В рассмотренной задаче построить алгоритм с рекурсивными вызовами можно было бы значительно проще, исходя из конечной формулы для решения задачи и дихотомии. Однако путь, который мы прошли, имеет свои достоинства. Он позволяет в общем случае выявить ограничения на рекурсивную функцию, достаточные для столь малого количества рекурсивных обращений при её вычислении. Фактически, из проведенных рассуждений вытекает такое утверждение.

Пусть функция F(a,n,v) удовлетворяет условиям:

F(a,1,v) =g(a,v),

F(a,n,v) =aЧF(1,n,v),

F(a,n,v) =F(F(a,k,v),n-k,v) (1ЈkЈn),

где a - действительное число, n - натуральное число, v=(v1,v2,…,vs) T - вектор с числовыми компонентами, g(a,v) - функция, значения которой для a и v из области определения F(a,n,v) мы вычислять можем. Тогда рекурсивная программа-функция:

вычисляет значение F(a,n,v) ровно за рекурсивных вызовов.

Доказательство этого факта с использованием свойств A, B и C можно провести так:

Отсюда, при n=2Чk имеем

а при n=2Чk+1 получаем

Именно на этих соотношениях и базируется алгоритм, реализуемый программой-функцией F(a,n,v).

И в заключение замечания приведем пример функции, удовлетворяющей условиям A, B и С: где в области определения функции f(v) её значения мы вычислят умеем.

Задача о величине вклада после снятия денег в конце каждого периода

Вкладчик положил в банк сумму в sum денежных единиц под p процентов за один период времени. В конце каждого периода вкладчик после начисления процентов снимает со счета A денежных единиц. Определить сумму вклада через n периодов времени.

Решение. Данная задача весьма похожа на задачу 1. Рекурсивная программа-функция waste(sum,p,A,n) реализует декомпозицию, исходя из такого утверждения. Положить сумму sum в банк на n периодов со снятием в конце каждого периода по A денежных единиц – это то же самое, что положить данную сумму на тех же условиях на n – 1 период, взять, снова положить на 1 период и затем снять A единиц.

(3)

Нетрудно понять, на какую посылку опирается при декомпозиции рекурсивная программа-функция waste1(sum,p,A,n), решающая ту же самую задачу о динамике вклада.

(4)

Замечание 1. Конечная формула для решения задачи 2 выглядит так:

Выводится она следующим образом.

Одно из преимуществ “формул” waste() и waste1() в том, что они выписываются без всякого вывода и практически без затруднений.

Контрольные примеры.

Замечание 2. В связи с задачей о динамике вклада может быть поставлен и такой вопрос. Сколько лет подряд вкладчик может снимать со счета по A денежных единиц в конце каждого периода после начисления процентов, если он положил в банк сумму в S единиц при ставке p процентов. Ответ на него может дать рекурсивная функция year(S,p,A):

Здесь случай неубывания величины вклада выделен отдельно (loіS), рекурсия организована по остаткам вклада после периодов, в которых хватило денег на очередную выплату в A единиц.

Контрольные примеры.

Задача о величине вклада после внесения (снятия) денег в конце или начале каждого периода

Вкладчик положил в банк pv денежных единиц на nper периодов при неизменной банковской ставке в rate процентов. В дальнейшем он предполагает в конце (type=0) или начале (type=1) каждого периода вносить (забирать) по pmt денежных единиц. Какой будет величина вклада через nper периодов?

Решение. Данная задача является прямым обобщением задач 1 и 2 и может быть решена с помощью встроенной в Excel функции fv(). Однако нас будут интересовать её рекурсивные аналоги. Будем считать, что знак величины pmt определяет тип операции, совершаемой вкладчиком в конце или начале каждого периода. При pmtі0 деньги вносятся на счет, а при pmt<0 деньги снимаются со счета (в Excel наоборот!). Далее, пусть знак pv определяет, имеет ли вкладчик деньги на счету или он должен банку. При pvі0 деньги на счету есть, при pv<0 имеется задолженность в |pv| денежных единиц (в Excel наоборот!).

Пусть fv(rate,nper,pmt,pv,type) - функция для решения исходной задачи. Ниже приведено два варианта (fv1(), fv2()) рекурсивной реализации fv():

Дадим пояснения к функциям fv1() и fv2(), например, при type=0. Параметризация задачи фактически осуществлена в её постановке. Базой рекурсии для обоих предложенных вариантов служит случай nper=0. Иными словами, если pv денежных единиц положить в банк и сразу же их забрать, то будет возвращена та же самая сумма. Декомпозиция для fv1() и fv2() проведена, исходя из того, что решение исходной задачи по конечному результату равносильно соответственно совокупности следующих действий. Для fv1(): “Положить на тех же условиях pv денежных единиц в банк на nper-1 период, снять всю сумму с вклада и, наконец, на тех же условиях снова положить её на один период”. Для fv2(): “Положить на тех же условиях pv денежных единиц в банк на 1 период, снять всю сумму с вклада и, наконец, на тех же условиях снова положить её на nper-1 период”. Именно это и реализовано в соответствующих программах функциях.

При необходимости можно было бы вывести и конечную формулу для вычисления fv() или, по крайней мере, попытаться найти её в том или ином справочнике. Но это требует дополнительных усилий и затрат времени. Да и выглядит формула достаточно громоздко:

Задача о изменяющихся процентных ставках

В банк положена сумма в S денежных единиц. Пусть банк проводит начисления в процентах: в течение n0 периодов - по ставке p0, затем в течение n1 периодов - по ставке p1 и т.д. и, наконец, в течение nk-1 периодов - по ставке pk-1. Считая nj (j=0. . k-1) натуральными числами, вычислить размер вклада через n0+n1+…+nk-1 периодов.

Решение. Рассмотрим векторы длин периодов n и процентных ставок p:

n=(n0,n1,…,nk-1) T, p=(p0,p1,…,pk-1) T.

Данная задача является обобщением задачи 1 и при длине вектора n, равной единице, совпадает с ней. Пусть revise(S,p,n) - решение задачи 4. Тогда, в силу сказанного, при length(n) =1 имеем

revise(S,p,n) =invest(S,p,n),

и это соотношение может служить базой рекурсии. Декомпозицию реализуем, исходя из следующих соображений. Пусть length(n) >1 и задача 4 решена для векторов n1 и p1, полученных отбрасыванием последнего компонента соответственно у векторов n и p. Образовавшийся при этом новый размер вклада обозначим через sum. Тогда для получения решения исходной задачи с векторами n и p остается подсчитать сумму, возвращаемую при инвестировании величины sum на последние nk-1 периодов под pk-1 процентов. Иными словами, необходимо еще раз решить задачу 1, то есть вычислить значение функции invest(sum,pk-1,nk-1). Именно эти соображения и использованы при написании функции revise():

Рекурсивная функция revise1(S,p,n) построена на способе декомпозиции, вытекающем из таких соображений. Если исходную сумму S инвестировать под p0 процентов на n0 периодов, то с полученной суммой останется решить исходную задачу для векторов n и p c удаленными первыми компонентами:

Замечание. При необходимости можно было бы вывести конечную формулу для решения задачи 4. Выглядит она так:

Контрольные примеры.

Задача о изменяющихся процентных ставках и величинах снимаемых денег

Вкладчик положил в сбербанк sum денежных единиц под pk (k=0. . n-1) процентов за каждый из n последующих периодов времени. В конце каждого периода k (k=0. . n-1) после начисления pk процентов он снимает со счета Ak денежных единиц. Иными словами, допускается, вообще говоря, и изменение процентной ставки, и величины денежных единиц, снимаемых с вклада. Составить программы, отвечающие на следующие вопросы:

Имеет ли задача решение?

Если задача имеет решение, то какова величина вклада после n периодов?

Если задача не имеет решения, то каков наименьший номер периода, в котором взятие соответствующей суммы оказалось невозможным?

Решение. Рассмотрим векторы процентных ставок и величин уменьшения вклада:

p=(p0,p1,…,pn-1) T, A=(A0,A1,…,An-1) T.

Ответ на первые два вопроса дают рекурсивные программы-функции waste2(sum,p,A) и waste3(sum,p,A). Если задача имеет решение, то они возвращают величину вклада после n периодов, а иначе - отрицательное число. Декомпозиция для функции waste2() проводилась, исходя из того же утверждения, что и для функции waste(), а декомпозиция для функции waste3() - исходя из того же утверждения, что и для функции waste1(). Во втором случае получена более компактная и ясная программа:

Наряду с этими программами можно вывести и конечную формулу wa(S,p,A) для расчетов. Пусть n=length(p). Тогда:

И, наконец, в общем случае:

Контрольные примеры.

Попробуем теперь составить программу, отвечающую на третий из поставленных вопросов. Будем считать, что она должна возвращать вектор с двумя компонентами, который выглядит так:

[“O’key” решение] T, если задача имеет решение;

[период сальдо] T, если задача не имеет решения.

Во втором случае возвращается период (нумерация от 1 и далее) и отрицательное сальдо – количество денежных единиц, которых недостает для выплаты в данный период.

Всем перечисленным условиям удовлетворяет рекурсивная программа-функция waste4(sum,p,A,k):

Здесь k - вспомогательный параметр. При первом обращении к waste4() его значение должно быть равно нулю. Далее k используется для организации рекурсивных вычислений, а операторы return - для прекращения рекурсивных вызовов при получении решения задачи.

Контрольные примеры.

Дисконтирование. Инвестиции. Консолидирование

Задача о дисконтировании

Какую сумму следует внести сегодня в банк при процентной ставке p, чтобы через n периодов получить S денежных единиц?

Решение. Фактически речь идет о вычислении величины, называемой экономистами современной стоимостью отложенного платежа. Если положить в банк сумму в R=S/(1+p/100) n единиц, то через n периодов она превращается в S единиц. Та же самая сумма R через n-1 период превращается в S/(1+p/100) единиц. Таким образом, если discount(S,p,n) - решение исходной задачи, то при n№0 имеем:

discount(S,p,n) = discount(S/(1+p/100),p,n-1).

Будем проводить рекурсию по количеству периодов n. Тогда последнее соотношение дает нам правило декомпозиции. Отсюда и получаем программу-функцию (5):

(5)

На вопросе о том, как проведена декомпозиция в (6), останавливаться не будем:

(6)

Замечание. Из проведенных рассуждений вытекает,