Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

" " 2005г.

Дипломная работа

«Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам»

Исполнитель

студентка группы М-51

Рубан Е.М.

Руководитель

Д. ф-м н., профессор Монахов В.С.

Гомель 2005

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Подгруппа Фиттинга и её свойства

2. -длина -разрешимой группы

3. Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам

4. Используемые результаты

Заключение

Список использованных источников

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используются следующие обозначения.

- простые числа.

- знак включения множеств;

- знак строгого включения;

и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

- пустое множество;

- множество всех для которых выполняется условие ;

- число сравнимо с числом по модулю .

- множество всех простых чисел;

- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число - любое число вида , ;

- множество всех целых положительных чисел.

- единичная группа;

- единичная матрица размерности ;

- полная линейная группа степени над полем из элементов, т.е. группа всех невырожденных линейных преобразований -мерного линейного пространства над полем из элементов;

) - специальная линейная группа степени над полем из элементов.

) - проективная специальная линейная группа степени над полем из элементов, т.е. факторгруппа специальной линейной группы по ее центру

- конечное поле порядка .

Пусть - группа. Тогда:

- порядок группы ;

- порядок элемента группы ;

- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

- также единичная подгруппа группы ;

- множество всех простых делителей порядка группы ;

- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

- наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы ;

- наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

- -холловская подгруппа группы ;

- силовская -подгруппа группы ;

- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;

- группа всех автоморфизмов группы ;

- главный ранг группы ;

- -главный ранг группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

Пусть - максимальная цепь подгрупп, т.е. для всех . Если разрешима, то все индексы максимальной цепи примарны, т.е. . Тогда:

.

При введении обозначений