Абстрактная теория групп
Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*
), если каждой упорядоченной паре элементов 
поставлен в соответствие некоторый элемент 
называемый их произведением.
Примеры.
Композиция перемещений на множествах
является алгебраической операцией.
Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве 
всех подстановок степени n.
Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания
и умножения на множествах Z,R,C соответственно целых, вещественных
и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на
этих множествах, поскольку частное 
не определено при 
. Однако на
множествах 
, 
это
будет алгебраическая операция.
Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве 
.
Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве 
.
Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных
матриц данного порядка.
2.Свойства алгебраических операций.
1. Операция (*) называется ассоциативной, если 
.
Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если 
, 
. В частности можно определить степени с натуральным показателем: 
. При этом имеют место обычные законы: 
, 
.
2. Операция (*) называется коммутативной, если 
В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна
в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции 
3. Элемент 
называется нейтральным
для алгебраической операции (*) на множестве X, если 
.
В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение,
тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно
(для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная
матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим,
что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле,
если 
- нейтральные элементы, то
. Наличие нейтрального элемента
позволяет определить степень с нулевым показателем: 
.
4. Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент
называется обратным для
элемента 
, если 
.
Отметим, что по определению 
. Все
перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения
все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля.
Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если
элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: 
.
Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент 
также обратим и 
. (Сначала мы
одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).
Определение (абстрактной) группы.
Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если
Операция (*) ассоциативна на G. Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы). Каждый элемент из G обратим.Примеры групп.
Любая группа преобразований. (Z, +), (R, +), (C, +).
Матричные группы: 
- невырожденные
квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные
матрицы с определителем 1.
3. Простейшие свойства групп.
В любой группе выполняется закон сокращения: 
(левый
закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство.
Домножим равенство слева на 
и
воспользуемся свойством ассоциативности: 
.
Признак нейтрального элемента: 
Доказательство Применим к равенству 
закон сокращения.
Доказательство Применим закон сокращения к равенству 
.
Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно.
Следует из п.3.
Существование обратной операции. Для любых двух элементов 
произвольной
группы G уравнение 
имеет и притом
единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что 
(левое
частное элементов ) является решением
указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного
к равенству 
. Аналогично устанавливается
существование и единственность правого частного.
4. Изоморфизм групп.
Определение.
Отображение 
двух групп G и K называется изоморфизмом , если
1.Отображение j
взаимно однозначно. 2.Отображение j
сохраняет операцию: 
.
Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.
Примеры.
1.Группы поворотов плоскости 
и 
вокруг точек 
и 
изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.
2.Группа диэдра 
и соответствующая пространственная группа 
изоморфны.
состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма
достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что
каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет
его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2,
3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1),
оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все
такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер
(например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки
также являются четными.
Формула 
определяет взаимно
однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством
положительных чисел. При этом
. Это означает, что 
является изоморфизмом.
Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.
5. Понятие подгруппы. Непустое подмножество 
называется подгруппой, если 
само является группой. Более подробно это означает, что 
, 
и 
.
Признак подгруппы.
Непустое подмножество 
будет подгруппой тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство.
В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь 
-
любой элемент. Возьмем 
в признаке
подгруппы. Тогда получим 
. Теперь
возьмем 
. Тогда получим 
.
Примеры подгрупп.
Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.
- подгруппа четных подстановок.
и т.д.
Пусть G - любая группа и 
-
любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество 
всевозможных
степеней этого элемента. Поскольку 
,
рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической
подгруппой с образующим элементом g .
Пусть 
любая подгруппа Рассмотрим множество 
- централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если 
, то 
, то есть 
. Теперь ясно, что если 
, то и 
и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то 
. Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).
Замечание об аддитивной форме записи группы.
Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются