Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Содержание

1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Предел числовой последовательности

Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел называется числовой последовательностью.

Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие .

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут .

Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности и , которые удовлетворяют условию и , было бы справедливо неравенство .

Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда

.

Отсюда следует, что , то есть необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что . Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а , то или при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей должна сходиться. Пусть . Докажем, что сходится к также.

Возьмем произвольное . Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие .

Выберем и зафиксируем некоторое . Тогда для всех получим:

.

Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.

Определение 1.3. Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если выполняется неравенство , и монотонно убывающей, если .

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.

Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности.

2. Предел функции

При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине. Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.

Определение 2.1. Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое число , что из условия следует, что .

Данное условие записывается в виде: . Отметим, что интервал длины , который содержит в себе точку , называется -окрестностью точки .

Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении к . Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция , где , имела предел при , где , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что из условия вытекало условие .

Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое , для которого . Тогда, согласно теореме, . Представим данное неравенство следующим образом: . Иначе говоря, как только станет отличаться от меньше, чем на , сама функция окажется в полосе шириной , расположенной на линии .

В приведенном определении предела и теореме Коши может стремиться к произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если стремится к , оставаясь все время меньше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции слева и обозначается .

Определение 2.3. Если стремится к , оставаясь все время больше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции справа и обозначается .

Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке равны между собой.

3. Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя. Для вычисления воспользуемся выражением для бинома Ньютона:

. 001

В нашем случае

.

Из полученного выражения следует, что с увеличением величина растет. Действительно, перейдем от к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида