Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

width="69" height="20" border="0" />, то . Ясно, что  - нормальная подгруппа группы . Если , то  имеет вид . Так как , то имеет место  и поэтому

.

Это означает, что подгруппы  и  перестановочны. Если , то  и поэтому . Следовательно, подгруппы  и  перестановочны.

4. Если , то подгруппа  является максимальной подгруппой группы  индекса  и  - 2-максимальная подгруппа в . Но подгруппы такого вида уже изучены.

5. Если , то подгруппа  является максимальной подгруппой группы  с индексом  и  - максимальная подгруппа группы . Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы  группы  перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы .

Это означает, что в любом случае  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Легко видеть, что в группе  типа (4) каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (5). Легко видеть, что в группе  все -максимальные подгруппы группы  нормальны в группе . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (6). Пусть  - максимальная подгруппа группы . Понятно, что либо , либо , где . Отсюда следует, что  - единственная неединичная -максимальная подгруппа группы . Так как , то  - нормальная подгруппа в группе , и поэтому подгруппа  перестановочна со всеми -максимальнаыми подгруппами группы .

Пусть  - группа типа (7). Тогда , где  - подгруппа группы  простого порядка ,  - подгруппа группы  простого порядка  и  - циклическая -подгруппа группы , которая не является нормальной подгруппой в группе , но максимальная подгруппа группы  нормальна в . Покажем, что в группе  любая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть  - контрпример минимального порядка.

Предположим, что . Пусть  - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что  - нормальная подгруппа группы . Следовательно,  перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы . Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что .

Пусть  - подгруппа группы  с индексом . Так как , то  - неединичная подгруппа группы . Ясно, что  - нормальная подгруппа группы . Факторгруппа  имеет вид , где  - силовская подгруппа порядка ,  - силовская подгруппа порядка ,  - циклическая силовская -подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в , но максимальная подгруппа  группы  нормальна в группе . Поскольку , то  и поэтому по выбору группы  мы заключаем, что любая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Пусть  - произвольная -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что  и . Отсюда следует, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы , и поэтому

Следовательно, подгруппы  и  перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы  заканчивает доказательство теоремы.

Если в группе  любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  и , то  - нильпотентная группа.

Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).

Хорошо известно, что в группе автоморфизмов  группы кватернионов  имеется элемент  порядка . Пусть . Тогда  принадлежит типу (2). Действительно, пусть  - единственная подгруппа порядка 2 группы . Тогда  и поэтому . Понятно, что  - главный фактор группы  и кроме того, . Таким образом,  - максимальная подгруппа группы  и все максимальные в  подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с . Следовательно,  - группа Шмидта.

Пусть

 

и  - группа порядка 7. Ввиду леммы ,  - абелева группа порядка 9. Поскольку  изоморфна некоторой подгруппе  порядка 3 из группы автоморфизмов , то  - группа операторов для  с . Пусть . Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы  и  не является нормальной подгруппой группы . Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны и не являются нормальными подгруппами группы  и поэтому  - группа типа (3).

Пусть теперь  и  - такие простые числа, что  делит . Тогда если  - группа порядка , то в группе ее автоморфизмов  имеется подгруппа  порядка . Пусть , где  - группа порядка . Тогда  - группа операторов для  с  и поэтому группа  принадлежит типу (3).

Пусть снова  и  - группы, введенные в примере,  и , где  Пусть