Xreferat.ru » Рефераты по физике » Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Содержание


1. Основные понятия 15

Возникновение электродинамических сил 15

Направление действия силы Error: Reference source not found

2. Методы расчета электродинамических сил 18

Первый метод 18

Второй метод 25

3. Электродинамические силы между параллельными проводниками 29

Бесконечной длины 29

Конечной длины 32

Неравной длины 36

4. Электродинамические силы между взаимно перпендикулярными проводниками 53

5. Электродинамические силы в кольцевом витке и между кольцевыми витками 61

Для одного витка 61

Для нескольких витков 68

6. Электродинамические силы в проводниках переменного сечения 71

7. Силы взаимодействия между проводником с током и ферромагнитной массой 73

Вблизи ферромагнитной массы 73

Внутри ферромагнитной массы 74

8. Электродинамические силы при переменном токе 76

При однофазном токе 76

При расположении проводников в одной плоскости 85

При расположении проводников правильным треугольником 91


1. Основные понятия


Действие электродинамических сил на аппараты

При нормальных эксплуатационных условиях электродинамические силы, как правило, малы и не вызывают каких-либо деформаций, а тем более поломок деталей в аппаратах. Однако при коротких замыканиях эти силы достигают весьма больших значений и могут вызвать деформацию или разрушение не только отдельных деталей, но и всего аппарата. Это обстоятельство требует проведения расчета аппарата (или отдельных его узлов) на электродинамическую устойчивость, т.е. на способность выдержать без повреждений прохождение наибольшего возможного в эксплуатационных условиях (или заданного) тока короткого замыкания. Такой расчет тем более необходим ввиду того, что с целью получения минимальных габаритов в аппаратах стремятся располагать токоведущие части как можно ближе друг к другу.

Так как переменный ток при отсутствии апериодической составляющей отличается от постоянного изменением силы тока и направлением изменяющихся по синусоидальному закону, то и электродинамическая сила будет иметь переменное значение.

Для упрощения рассмотрим электродинамические силы, возникающие в различных частях электрического аппарата при постоянном токе. Далее, оценим их влияние на электрический аппарат в различных ситуациях при трехфазном переменном токе.

Возникновение электродинамических сил

Обтекаемый током i прямолинейный проводник длиной l (рис. 1), расположенный в магнитном поле с индукцией В, испытывает механическую силу

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (1)

где β- угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Рис. 1.


Для системы из нескольких обтекаемых током проводников можно всегда представить, что любой из этих проводников расположен в магнитном поле, созданном токами других проводников, и соответствующим образом взаимодействует с этим полем, т. е. между проводниками, охваченными общим магнитным потоком, всегда возникают механические силы. Эти силы называются электродинамическими.

Аналогичные силы возникают между проводником, обтекаемым током, и ферромагнитной массой.

Направление действия силы

Направление действия силы определяется «правилом левой руки».

Направление действия силы может быть также определено из следующего общего положения: силы, действующие в контуре с током, стремятся изменить конфигурацию контура так, чтобы охватываемый контуром магнитный поток увеличился.

Удобным для определения направления действия электродинамической силы является метод, предложенный академиком В.Ф. Миткевичем, основанный на представлении бокового распора и тяжения магнитных линий.


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Рисуют и накладывают друг на друга картины магнитных полей, создаваемых током каждого из проводников. Благодаря боковому распору магнитных силовых линий сила, действующая на проводник, направлена в сторону, где поле ослаблено (рис. 2).


2. Методы расчета электродинамических сил


Расчет электродинамических сил ведется обычно либо на основании закона взаимодействия проводника с током и магнитным полем (первый метод), либо по изменению запаса магнитной энергии системы (второй метод).

Первый метод


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Расчет электродинамических сил на основании закона взаимодействия проводника с током и магнитным полем. Возьмем систему из двух произвольно расположенных проводников 1 и 2 (рис. 3), обтекаемых токами i1 и i2. Напряженность магнитного поля, создаваемого элементом dy проводника 2 в месте расположения элемента dx проводника 1, будет


Электродинамические усилия в электрических аппаратах (2)


где α — угол между вектором ρ и направлением тока по элементу dy.

Весь проводник 2 создает в месте расположения элемента dx напряженность магнитного поля

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (3)

Элементарная сила, действующая на элемент dx, обтекаемый током i1

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (4)

где ρ — угол между вектором магнитной индукции В = μ0Hdx и вектором тока i1;

μ0 — магнитная проницаемость воздуха.

Полную силу F взаимодействия между проводниками 1 и 2 получим после интегрирования dFdx по всей длине проводника 1:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (5)

Считая токи i1 и i2 неизменными по всей длине проводника, уравнение (5) можно переписать в виде произведения членов:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (6)

Первый член этого выражения зависит только от значений токов. Второй член зависит только от взаимного геометрического расположения проводников и представляет собой безразмерную величину. Эту величину часто называют коэффициентом контура, который обозначим буквой с. Тогда


Электродинамические усилия в электрических аппаратах (7)

т.е. сила взаимодействия между двумя проводниками, обтекаемыми токами i1 и i2, пропорциональна произведению этих токов (квадрату тока при i1 = i2) и зависит от геометрии проводников.

Подставив в уравнение (7) значение μ0 = 4π10-7 и вычисляя силу в ньютонах, получим

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (8)

Второй метод

Расчет электродинамических сил по изменению запаса электромагнитной энергии контуров. Электромагнитное поле вокруг проводников и контуров с током обладает определенным запасом энергии. Электромагнитная энергия контура, обтекаемого током i,

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (9)

Электромагнитная энергия двух контуров, обтекаемых токами i1 и i2,

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (10)

где L1,L2 — индуктивности контуров; М — взаимная индуктивность контуров.

Всякая деформация контура (изменение расположения отдельных его элементов или частей) или изменение взаиморасположения контуров приводят к изменению запаса электромагнитной энергии. При этом работа сил в любой системе равна изменению запаса энергии этой системы:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (11)

здесь dW — изменение запаса энергии системы при деформации системы в направлении х под действием силы F.

На указанном законе (11) и основан второй метод определения электродинамических сил в контурах. Электродинамическая сила в контуре или между контурами, действующая в направлении х, равна скорости изменения запаса энергии системы при деформации ее в том же направлении:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (12)

Согласно сказанному электродинамическая сила в контуре, обтекаемом током i,

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (13)

а электродинамическая сила между двумя взаимосвязанными контурами с токами i1 и i2 будет

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (14)


3. Электродинамические силы между параллельными проводниками


Бесконечной длины

Возьмем два параллельных круглых проводника 1 и 2 (рис. 4), расположенных в одной плоскости на расстоянии друг от друга и обтекаемых токами i1 и i2. Расчет будем производить первым методом. Проделав все операции аналогично выражениям (2) — (8) и учитывая, что sin β = 1, так как проводники расположены в одной плоскости, и вектор индукции в данном случае перпендикулярен этой плоскости (β=90°), получим


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Электродинамические усилия в электрических аппаратах, (15)

где

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Выразим подынтегральные переменные второго интеграла через одну из переменных, а именно через угол α. Примем за начало координат элемент dy и направление токов, совпадающее с положительным направлением координат. В этом случае текущая координата

Электродинамические усилия в электрических аппаратах(16)


Подставив полученные выражения в уравнение (15) и считая, что проводник 2 распространяется от — ∞ до + ∞, чему соответствует изменение угла α от π до 0, получим

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (17)

Очевидно, если проводник 1 (l1), так же как и проводник 2, распространяется до ±∞, то с будет стремиться к бесконечности.

Конечной длины

Если проводник 1 имеет конечную длину, то

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (18)

Согласно выражению (8) сила, действующая на проводник 1, равна

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (19)

Уравнение (19) определяет силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых бесконечно длинен, а второй имеет конечную длину l и расположен симметрично относительно первого. В случае, когда оба проводника будут иметь конечную длину l, пределы интегрирования для выражения (17) будут уже не от π до 0, а от α 2 до α 1 (см. штриховые линии на рис. 4) и сила взаимодействия между двумя круглыми проводниками конечной и равной длины определится уравнением

Электродинамические усилия в электрических аппаратах. (20)

В уравнении (20) множитель перед скобками представляет собой силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых имеет бесконечную длину. Обозначим эту силу через F∞. Коэффициент, заключенный в скобках, представляет собой величину, меньшую единицы. При α/1<0,2 (в практике, как правило, α/1<< 0,2) величиной (α/l)2 по отношению к единице можно пренебречь. Тогда уравнение (20) примет вид (21)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (21)

Неравной длины

В практике весьма часто проводники имеют неравную длину. Силу взаимодействия между такими проводниками можно найти изложенным выше способом, производя интегрирование каждый раз в соответствующих пределах. Можно эту задачу решить, применив уравнение (20).


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


На рис. 5 приведены два проводника неравной длины l1 и l2, расположенные друг от друга на расстоянии а и обтекаемые токами i1 и i2. Нарастим проводник l2 на отрезок l3 до длины, равной l1. Проводник l1 можем также представить состоящим из двух отрезков l2 и l3. Тогда можем написать, что сила взаимодействия между проводниками длиной l1 и l2 (F l1 l2) равна сумме сил взаимодействия между двумя проводниками l2 одинаковой длины (F l2 l2) и двумя проводниками длиной l2 и l3 (F l2 l3):

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (22)

Аналогично можно написать

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (23)

Сложив уравнения (22) и (23), получим

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (24)

Таким образом, сила взаимодействия между двумя проводниками неравной длины выражается через силу взаимодействия проводников равной длины:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (25)

При этом l1 и l2 — величины заданные, а l3= l1 - l2.

Сила взаимодействия между круглыми параллельными проводниками может быть также определена по изменению запаса электромагнитной энергии.

Первый случай — оба проводника принадлежат к одной системе. Индуктивность системы из двух параллельных проводников радиусом r и длиной l, находящихся на расстоянии а, при условии, что l >> а, определяется формулой

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (26)

Нас интересует сила, действующая в направлении а. Согласно выражению (13)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (27)

из уравнения (26)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

тогда

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (28)

Из выражения (28) видно, что результат получился таким же, как и при определении этих сил, первым методом.

Второй случай — проводники принадлежат к двум различным системам, при этом сами системы не претерпевают деформации. Взаимная индуктивность между двумя проводниками длиной l, находящимися друг от друга на расстоянии а, при условии, что l >> а, определяется формулой

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (29)

Согласно формуле (13) сила, действующая в направлении а,

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

где

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

так как сами системы не претерпевают деформации, а из выражения (29)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах

Тогда

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (30)

т.е. результат, как и следовало, получился тот же.


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Для двух параллельных проводников, расположенных с любым сдвигом, Г.Б. Холявский получил удобную для расчета коэффициента контура формулу, основанную на геометрической интерпретации приведенных выше уравнений.

Величина Электродинамические усилия в электрических аппаратах представляет собой длину диагонали D (рис. 6) прямоугольника со сторонами l и а; следовательно, согласно уравнению (20) для проводников равной длины

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (31a)

а согласно уравнению (25) для проводников неравной длины (рис. 7)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (31б)


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


т.е. коэффициент контура равен разности суммарных диагоналей и боковых сторон четырехугольника (прямоугольник, трапеция, параллелограмм), построенного на данных отрезках проводников, деленной на его высоту.

Для проводников прямоугольного сечения (шин) следует вводить поправочный коэффициент — коэффициент формы kф, зависящий от размеров проводников и расстояний между ними:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (32)

4. Электродинамические силы между взаимно перпендикулярными проводниками


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


На рис. 8 и 9 приведены часто встречающиеся в аппаратах формы перпендикулярно расположенных проводников, например в рубильниках, мостиковых контактных системах и многих других аппаратах и узлах. Произведя расчеты, аналогичные предыдущим (первый метод), получим следующие выражения для сил, действующих на проводник 1 по рис.8
при h →∞

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (33)

и при h конечном

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (34)

по рис. 9 сила будет соответственно в два раза большей:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (35)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (36)

Моменты относительно точки О, действующие на проводник 1 (h →∞), по рис. 8:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (37)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (38)

Момент относительно точки О, действующий на половину проводника 1 (рис. 9),

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (39)


5. Электродинамические силы в кольцевом витке и между кольцевыми витками


Для одного витка


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


В кольцевом витке (рис. 10) с током i возникают радиальные силы fR, стремящиеся увеличить его периметр, т.е. разорвать виток. Если считать, что сечение проводника не деформируется, то согласно выражению (13) общая радиальная сила, действующая на виток, будет

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (40)

На единицу длины витка приходится сила

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (41)

Для того чтобы найти силу FR, стремящуюся разорвать виток, необходимо проинтегрировать проекции радиальных сил, действующих на четверти витка. На элемент окружности витка Rdφ действует сила fRRdφ, проекция которой на ось х равна fRRdφ cos φ, откуда

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (42)

Для витка круглого сечения при R >> r

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (43)

и

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (44)

Аналогично для витка прямоугольного сечения

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (45)

и

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (46)

Для нескольких витков

Приведенные формулы для электродинамических сил применимы не только к одному витку, но и к обмоткам с любым числом витков п, занимающим данное сечение. В этом случае за значение тока следует принимать суммарное значение тока всех витков i =niв.


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


В катушках аппаратов, кроме сил, действующих внутри каждого витка, будут существовать электродинамические силы между витками. Между витками (рис. 11а), если считать, что токи в них направлены одинаково, возникает сила притяжения F. Силу F можно представить как результирующую двух составляющих, а именно силы Fy, стремящейся притянуть витки друг к другу, и силы Fx, стремящейся один из витков (при одинаково направленных токах — виток с меньшим диаметром) растянуть, а другой виток (в данном случае виток большего диаметра) — сжать. Таким образом, в одном из витков сила Fx будет складываться с силой FR, а в другом — вычитаться из нее.

Значения составляющих силы взаимодействия между двумя витками определяются уравнениями:

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (47)

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (48)

где c = R2-R1; R2> R1. Зависимости Fx и Fy от расстояния между витками представлены на рис. 11, б и в.


6. Электродинамические силы в проводниках переменного сечения


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


В проводнике силы взаимодействия отдельных линий тока с собственным магнитным полем проводника направлены перпендикулярно линиям тока. При неизменном сечении проводника все линии тока параллельны и силы не имеют осевой составляющей (в цилиндрическом проводнике они направлены по радиусу: F = Fr на рис. 12).

При изменении сечения проводника линии тока искривляются, и кроме поперечной Fr появляется продольная составляющая Fl стремящаяся разорвать место перехода вдоль оси проводника. Эта сила всегда направлена в сторону большего сечения и равна

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (49)

Формула справедлива для любого перехода.


7. Силы взаимодействия между проводником с током и ферромагнитной массой


Вблизи ферромагнитной массы

Вблизи ферромагнитной массы магнитное поле вокруг проводника с током (рис 13) искажается, магнитные силовые линии стремятся замкнуться по массе и возникают силы, стремящиеся притянуть проводник к этой массе.


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Значение силы притяжения может быть определено из следующих соображений. Заменим ферромагнитную массу вторым проводником с током того же направления, расположенным на таком же расстоянии от границы раздела сред. Картина поля при этом не нарушится, так как одновременно с удвоением длины магнитной силовой линии удвоилась и магнитодвижущая сила (2i вместо i), т.е. такая замена вполне правомерна. Силы взаимодействия между двумя параллельными проводниками подсчитываются по уравнениям (19) и (20). Только в данном случае вместо расстояния а надо брать 2а, т.е.

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (50)

Следует при этом помнить, что приведенные рассуждения полностью справедливы при бесконечно большой проницаемости магнитных силовых линий в ферромагнитной массе по отношению к их проницаемости в воздухе. Фактически с учетом магнитного сопротивления массы и насыщения силы будут несколько меньшими.


Внутри ферромагнитной массы


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Если проводник с током находится внутри ферромагнитной массы (рис. 14), то те же силы будут отталкивать его от границы раздела. Картина поля, а следовательно, и сила взаимодействия будут такими, как если бы за пределами ферромагнитной массы на таком же расстоянии был расположен проводник с таким же током, но обратного направления. Значение силы определяется тем же уравнением (50).


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Аналогичные силы притяжения будет испытывать проводник, расположенный в щели постоянного (рис. 15) или переменного (рис. 16) сечения в ферромагнитной массе. Без учета насыщения

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (51)

где l - длина щели (перпендикулярно плоскости чертежа); δ и δХ — ширина щели в месте расположения проводника.

В щели постоянного сечения сила, затягивающая проводник вглубь, будет неизменной, а в щели переменного сечения — переменной, возрастающей по мере сужения щели.


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Уравнение (51) относится к проводнику, расположенному в щели строго симметрично, когда сила действует по оси х. Однако если проводник окажется смещенным с оси симметрии, то силы притяжения его к противоположным стенкам (по оси у) окажутся неравными. Проводник будет перемещаться по какой-то кривой, показанной штриховой линией, определяемой двумя переменными составляющими сил Fx и Fy.


8. Электродинамические силы при переменном токе


При однофазном токе

Рассмотрим силы, действующие между параллельными проводниками, сначала при однофазном токе.

Согласно выражению (15) электродинамические силыЭлектродинамические усилия в электрических аппаратах

При переменном токе i = Im sinωt сила

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (52)


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


Т.е. сила меняется с частотой, в два раза большей частоты тока (рис. 17).

Силу f можно представить как сумму двух составляющих: постоянной Электродинамические усилия в электрических аппаратах и переменной Электродинамические усилия в электрических аппаратах, меняющейся с двойной частотой по закону косинуса. Так как косинус угла принимает значения от +1 до -1, то сила будет изменяться от Электродинамические усилия в электрических аппаратахдо Электродинамические усилия в электрических аппаратахне меняя своего знака.

В расчетах учитывается максимальное значение силы

Электродинамические усилия в электрических аппаратах (53)

Из уравнения (53) видно, что при переменном однофазном токе максимальное значение электродинамической силы при одном и том же значении тока (действующем) оказывается в два раза большим, чем при постоянном.


Электродинамические усилия в электрических аппаратах


При переменном токе