Xreferat.ru » Рефераты по математике » Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Международный университет

Калининградский филиал


Заочное отделение

Специальность-менеджмент


Курсовая работа


по дисциплине экономико–математические методы


Транспортная задача

линейного программирования


Транспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программирования


Курсовая работа

по высшей математике


Тема:

Транспортная задача линейного программирования”


Содержание:


История зарождения и создания линейного программирования.


Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды моделей.


Методы составления начального опорного плана.


Понятие потенциала и цикла.


Критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи. Методы отыскания оптимального решения.


Задача, двойственная к транспортной.


Пример решения транспортной задачи.


Выводы.


1.История зарождения и создания линейного программирования.


Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся “на глазок” (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать “по науке”. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово “программирование” здесь и в аналогичных терминах (“линейное программирование, динамическое программирование” и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово “планирование”. С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу. Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”. Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за “вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике”.

В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26-летнему профессору-математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории планерного треста, которым нужно было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между станками. Эта задача сводилась к нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало миллиарда. Поэтому простой перебор вершин не годился. Леонид Витальевич писал: “оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число разнообразных по содержанию задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение транспортных грузопотоков… Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения”. И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л.В.Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”, в которой закладывались основания того, что ныне называется математической экономикой.

Однако идеи Л.В.Канторовича не встретили понимания в момент их зарождения, были объявлены ересью, и его работа была прервана. Концепции Леонида Витальевича вскоре после войны были переоткрыты на западе. Американский экономист Т.Купманс в течение многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течение пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Примерно в это время Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто похожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным тиражом, обращенная даже не к экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательств теорем – словом, стоит ли принимать такую книжку во внимание… Но Купманс настаивает на переводе и издании на западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского ученого!

А самому Леониду Витальевичу – как естественно было бы ему, испытав первые грозные удары ретроградов, остеречься от “грехов” молодости, забыть про всю эту экономику и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но, не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный симплекс-методом. Как только в 50-е годы образуется маленький просвет, и кое-что из запретного становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методам оптимального планирования. А, начиная с 1960 года, Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с нею математической проблемами. Его вклад в этой области был отмечен Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.


2.Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды моделей.


Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании опти­мального плана перевозок некоторого однородного груза с Транспортная задача линейного программированиябаз Транспортная задача линейного программирования Транспортная задача линейного программирования потребителям Транспортная задача линейного программирования.

Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

Транспортная задача линейного программированияОбозначим количество груза, имеющегося на каждой из Транспортная задача линейного программирования баз (запасы), соответственно Транспортная задача линейного программирования,а общее количество имею­щегося в наличии груза–Транспортная задача линейного программирования:

Транспортная задача линейного программирования;

Транспортная задача линейного программированиязаказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соот­ветственноТранспортная задача линейного программирования, а общее количество потребностей – Транспортная задача линейного программирования:

Транспортная задача линейного программирования,

Транспортная задача линейного программированияТогда при условии

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программированиямы имеем закрытую модель, а при условии

Транспортная задача линейного программирования

– открытую модель транспортной задачи.

Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза Транспортная задача линейного программирования, либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не удовлетворены Транспортная задача линейного программирования.

Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:

Пункты

Отправления

Пункты назначения Запасы

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Потребности

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

или

Транспортная задача линейного программирования

Условие Транспортная задача линейного программирования или Транспортная задача линейного программирования означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Перемен­ное Транспортная задача линейного программирования означает количество груза, перевозимого с базы Транспортная задача линейного программирования потреби­телю Транспортная задача линейного программирования: совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные Транспортная задача линейного программирования должны удовлетворять условиям:


Транспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Система (2.1) содержит Транспортная задача линейного программирования уравнений с Транспортная задача линейного программирования неизвестными. Её особенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равны единице. Кроме того, все уравнения системы (2.1) могут быть разделены на две группы: первая группа из т первых уравне­ний (“горизонтальные” уравнения) и вторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом из горизонталь­ных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первым индексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуют один столбец матрицы пере­возок). Таким образом, каждая неизвестная встречается в системе (2.1) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и только одном вертикальном уравнениях.

Транспортная задача линейного программированияТакая структура системы (2.1) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайней мере, один из двух их индексов равен единице, а, следо­вательно, свободные неизвестные определяются условием Транспортная задача линейного программирования, Транспортная задача линейного программирования.Перепишем систему (2.1) в виде

Транспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программирования


где символы Транспортная задача линейного программированияи Транспортная задача линейного программированияозначают суммирование по соответствующему индексу. Так, например,

Транспортная задача линейного программирования

При этом легко заметить, что под символами такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь Транспортная задача линейного программирования, Транспортная задача линейного программирования).

В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а имен­но первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные Транспортная задача линейного программирования с помощью вертикальных уравнений, мы получаем уравнение


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программированияили короче

Транспортная задача линейного программирования

где символ Транспортная задача линейного программирования означает сумму всех свободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнения базисные неизвестные Транспортная задача линейного программирования с помощью горизонтальных уравнений, мы получаем уравнение

Транспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программирования

Так как для закрытой модели транспортной задачи Транспортная задача линейного программирования, то полученные нами уравнения (2.2) и (2.2’) одинаковы и, исключив из одного из них неизвестное Транспортная задача линейного программирования, мы получим уравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

Транспортная задача линейного программированияИтак, преобразование системы (2.1) свелось к замене двух урав­нений (первого горизонтального и первого вертикального) уравне­нием (2.2). Остальные уравнения остаются неизменными. Система приняла вид

Транспортная задача линейного программированияТранспортная задача линейного программирования


В системе (2.3) выделен указанный выше базис: базисные неиз­вестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного Транспортная задача линейного программирования [она входит в первое уравнение системы (2.3)]. В системе (2.3) имеется Транспортная задача линейного программирования уравнений, выделенный базис содержит Транспортная задача линейного программирования неизвест­ных, а, следовательно, и ранг системы (2.1) Транспортная задача линейного программирования.


Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы Транспортная задача линейного программирования, т. е. стоимость перевозки единицы груза с базы Транспортная задача линейного программирования потребителю Транспортная задача линейного программирования.

Совокупность тарифов Транспортная задача линейного программирования также образует матрицу, которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах и потребностях в одну таблицу:


Пункты

Отправления

Пункты назначения Запасы

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования


Транспортная задача линейного программирования


Потребности

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

или

Транспортная задача линейного
					</div>
					<div class=Страницы: 1 2 3 4 5