Неопределенные бинарные квадратичные формы

Введение

Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.

Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел  суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.

В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.

Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм

Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.

Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:

 (1)

где  —вещественные числа.

Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле  — являются первым, вторым и третьим коэффициентами .

Для наглядности эту формулу будем обозначать через , получим:

В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом  целых чисел более предпочтительной является запись вида (1).

В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя , т. е.:

Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты  являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу.

В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.

Если существует линейная подстановка переменных (2) с целыми коэффициентами  и определителем , переводящая форму  в форму , такая, что выполняется равенство

, (3),

тогда бинарные целочисленные квадратичные формы  и  называются собственно эквивалентными.

Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем  переводит форму  в форму , бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными.

Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом: ~

Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм  и .

 (4)

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число  бинарной квадратичной формы

Предположим, что  собственно или несобственно эквивалентна форме . Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа  с определителем , при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:

Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Допустим, что формы  и  эквивалентны. Значит, есть унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

,

тогда

Предположим , значит:

,

Таким образом, форма  — это есть число . В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как  можно заменить на .

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа  при некоторых целых  и , а также для квадратичной формы  выполняется равенство , значит, квадратичная форма  представляет число .

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме  называют классом  форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта , бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма  дискриминанта  называется определенной, если  и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при  бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при  и отрицательные при ), а при  она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты  и  формы  отличны от нуля и корни уравнения  вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень  этого уравнения первым, а — вторым корнем формы  (см. [1]), причем  есть дискриминант формы .

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

 с корнями  называется приведенной, если .

Покажем, что у приведенной формы  выполняются неравенства , , причем  и  заключаются между  и . В самом деле, из условия  получаем

,

, ,

Далее, , , т.е. выполняется указанное неравенство . Обратимся теперь к условиям:

 и . Из них следуют

,  (*)

Аналогично имеем

,  (**)

Покажем теперь, что . Допустим, что . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

 и

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что  неверно, и мы получаем неравенства . Наконец, покажем, что

 и

Т.к. , то из неравенств (*) и (**) получаем . С учетом этих неравенств и равенства , мы получим и неравенства для .

Обратно, система неравенств

 или

характеризует приведенность неопределенной формы . Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид.

Определение 8. Бинарная квадратичная форма  дискриминанта  называется приведенной, если

или

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта  собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма  называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен , т.е

НОД  и несобственно примитивной, если

НОД . В остальных случаях форма называется непримитивной.

Определение 10. Пусть — наибольший общий делитель чисел  для формы  определителя . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же  и (при ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов  называется порядком форм.

Так как  и знаки получающихся коэффициентов  при  не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При