Xreferat.ru » Рефераты по математике » Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Высшая математика


Кривые второго порядка

Квадратичные формы


Содержание


1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

2. Знакоопределенность квадратичных форм

3. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Литература


1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи


Квадратичной формой j (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида


,(1)


где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.

Квадратичная форма называется действительной, если aij О ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица



то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j (х) = хТАх, где


хТ = (х1 х2 … xn). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы


j (х1, х2, x3) = – 6х1х2 – 8х1х3 + + 4х2х3


и найти ее ранг.

Решение.


Ю r(A) = 3 Ю


квадратичная форма невырождена.


2. Знакоопределенность квадратичных форм


Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Пример 2.

Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.


1)

Ю


т. е. квадратичная форма является положительно определенной.

2)

Ю


т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.


3)

Ю


данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2, а не только в начале системы координат.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:



то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.


3. Критерий положительной и отрицательной определенности


Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма j (х) = хТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:


М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.


Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма j (х) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:


М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0.


Пример 3.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?


j (х1, х2, x3) =


Решение.

Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.

М1 = 1 > 0,

= а – 1 > 0 Ю а > 1.

= ав – а – в > 0 Ю в > .


Ответ:


а > 1, в > .


Пример 4.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?


j (х1, х2, x3) =


Решение.


М1 = –1 < 0,

= –а – 1 > 0 Ю а < –1.

= –ав – а – в < 0 Ю в > – .


Ответ


а < –1, в > –.


Пример 5.

Доказать, что квадратичная форма


j (х1, х2, x3) =


положительно определена.

Решение.

Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.


М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 = ъ А з = 162 > 0

Ю j1, х2, x3)


положительно определенная квадратичная форма.


Литература


1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.