Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

1. Определение функции.

Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда .

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда , т.е. (3), , , .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3)  (3)  (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g_i(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g_i(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре .

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H₁). Найдем минимальный многочлен H₁ – последний инвариантный множитель [xE-H₁]:

, d_n-1=x²; d_n-1=1;

m_x=f_n(x)=d_n(x)/d_n-1(x)=xⁿ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H₁.

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r^(n-1)(0)=f^(n-1)(0)  .

2. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

(*)

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим:

.

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица и – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны .

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .

ЧТД.

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , т.е. , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы  одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), ,  .

ЧТД.

Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , то

Следствие: Если , то , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l_k(x):

.

Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .

Построим:

.

Обратим внимание, что .

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

.

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

.

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

,

где m₁+m₂+…+m_s=m, deg r(x)

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где – некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .

Если в (**) положить , получим:

Для того, чтобы найти a_k3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент a_ki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

.

Пример: Найти f(A), если , где t – некоторый параметр,

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

.

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3



Умножим (*) на (х-5)

.

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d₂(x)=1, тогда минимальный многочлен

.

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

 функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

 .

Умножим (*) на :

.

Вычислим , взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

,

,

.

ЧТД.

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А  f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.

.

.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f’(1)=1

f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25

4. Простые матрицы.

Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , k_i – алгебраическая кратность корня .

Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению - подпространство, , где r – ранг матрицы .

Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица имеет , то имеет кратность .

DF. Размерность называется геометрической кратностью собственного значения .

В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF. Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …,x_n таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда и .

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n и существует n линейно независимых собственных векторов y₁, y₂,…,y_n, где x₁, x₂, …, x_n такие, что , (1); y₁, y₂,…,y_n такие, что (2), .

Запишем равенство (1) в виде (3)  что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).

DF. Множества векторов x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n удовлетворяющие условию , т.е. называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .

Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

Пример. Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А²⁰, p(x)=x²⁰.

Решение:



существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы: