Особливі точки рівняння
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни „Диференціальні рівняння"
на тему „Особливі точки”
Виконавець: студентка групи
Назаренко Олеся
Перевірив:
м. Дніпропетровськ 2010 р.
Зміст
1. Особливі точки
2. Задача 1
3. Задача 2
4. Задача 3.
5. Задача 4
1. Особливі точки
Особливою точкою системи
(1)
або рівняння
(2)
де функції й неперервно диференційовані, називається така точка, в якій .
Для дослідження особливої точки системи
(3)
або рівняння
(4)
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
(5)
Якщо розв’язки дійсні, різні й одного знаку , то особлива точка - вузол (рис.1, а), причому стійкий, якщо й нестійкий, якщо .
Вузол характеризується тим, що всі траєкторії, крім однієї II, мають у точці (0,0) загальну дотичну I, що сама є траєкторією. Прямі I і II спрямовані вздовж власних векторів матриці , які відповідають і , причому пряма I відповідає меншому за модулем з і .
При вузол є стійкою точкою спокою. На рис.1а стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні у випадку стійкого вузла. Якщо , то вузол нестійкий і стрілки заміняються на протилежні.
Рис.1. Типові траєкторії [2]
Якщо розв’язки дійсні, різні й різних знаків , то особлива точка - сідло (рис.1, б). Сідло є нестійкою точкою спокою.
Сідло характеризується наявністю двох траєкторій I і II, що проходять через (0,0) також у напрямку власних векторів. Пряма I є асимптотою для інших траєкторій при , а II є асимптотою при . Прямолінійна траєкторія I розташована за напрямком власного вектора, що відповідає додатньому , а прямолінійна траєкторія II за напрямком власного вектора, що відповідає від‘ємному . Прямі I і II називаються сепаратрисами сідла. На рис.1б стрілками показаний напрямок руху вздовж траєкторії при зростанні . Сепаратриса II є єдиною траєкторією, якій відповідає розв’язок, що прямує до 0 при . Тільки дві траєкторії I і II є прямолінійними. Інші траєкторії криволінійні й зі зростанням йдуть із в . Сепаратриси I і II розділяють фазову площину на 4 області, у яких лежать криволінійні траєкторії.
Якщо розв’язки комплексні з дійсною частиною , відмінною від нуля, то особлива точка - фокус (рис.1, в), причому стійкий, якщо й нестійкий, якщо . На рис.1в стрілками показаний напрямок руху при зростанні у випадку стійкого фокуса.
Зауваження. У випадку фокуса траєкторії можуть бути закручені навколо (0,0) у різних напрямках. Для того, щоб визначити напрямок закручування, досить обчислити вектор швидкості в якій-небудь точці, наприклад, в (0,1). Аналогічно досліджується напрямок руху у випадку центра й виродженого вузла.
Якщо розв’язки комплексні чисто мнимі (), то особлива точка - центр (рис.1, г). Центр є стійкою, але не асимптотично стійкою точкою спокою.
Якщо розв’язки рівні й ненульові (тобто ), то особлива точка може бути виродженим вузлом (рис.1, д) або дикритичним вузлом (рис.1, е), причому дикритичний вузол має місце тільки у випадку системи (або рівняння ), а у всіх інших випадках при особлива точка є виродженим вузлом. У випадку виродженого вузла всі траєкторії дотикаються однієї прямої, спрямованої вздовж єдиного власного вектора, що відповідає . Дикритичний вузол може бути стійким і нестійким .
Якщо ж один або обидва розв’язки рівняння (5) дорівнюють нулю, то , і, отже, дріб у правій частині рівняння (4) скорочується. Рівняння набуває вигляду , і розв’язок на площині XOY зображуються паралельними прямими.
2. Задача 1
Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
Розв’язання.
Для дослідження особливої точки рівняння
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння
і розв’язуємо його відносно
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки.
Отже, особлива точка (0,0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння
значення . Маємо
Власний вектор (1; 1/2) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .
Далі, власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння
значення . Маємо
Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .
На площині будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (1; 1/2) і (1; - 1), а потім будуємо гіперболи.
2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Знайдемо сепаратриси сідла, тобто прямі, що розділяють гіперболи різних типів, які є фазовими кривими системи (тобто асимптоти цих гіпербол).
Прямі, що проходять через особливу точку (0,0), шукаємо у вигляді . Підставляючи у вихідне рівняння
,
одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта
Таким чином, маємо дві шукані прямі
, .
3. Напрямок руху по траєкторіях. Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці вектор швидкості . Наприклад, у точках та вектор швидкості дорівнює
, ,
у точках та вектор швидкості дорівнює
, ,
у точках та вектор швидкості дорівнює
, ,
у точках та вектор швидкості дорівнює
, .
Приблизний вид сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 2.
Рис.2. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]
3. Задача 2
Дослідити особливі точки рівняння. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:
Розв’язання. Для дослідження особливої точки рівняння
треба знайти розв’язок характеристичного рівняння
У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння
і розв’язуємо його відносно
Розв’язки характеристичного рівняння дійсні, різні й одного знака.
Отже, особлива точка (0,0) - стійкий вузол ().
1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.
Власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння
значення .
Власний вектор (2;
1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .
Далі, власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння
значення .
Власний вектор (1; - 1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .
На площині будуємо прямі, спрямовані вздовж власних векторів (2;
1) і (1; - 1), а потім будуємо параболи й вказуємо напрямок руху по траєкторіях.
2. Другий спосіб побудови інтегральних кривих.
Прямі, що містять фазові криві системи, шукаємо у вигляді .
Підставляючи у вихідне рівняння
,
одержуємо рівняння для визначення коефіцієнта :
Виходить, що і - шукані прямі.
Фазові криві - частини парабол, що дотикаються на початку координат прямої . Параболи дотикаються саме прямої , оскільки власний вектор (2;
1) матриці коефіцієнтів даної системи, що відповідає власному числу , паралельний прямій .
3. Напрямок руху по траєкторіях.
Для з'ясування напрямку руху по траєкторіях досить побудувати в якій-небудь точці вектор швидкості . Наприклад, у точці вектор швидкості дорівнює
,
а в точці вектор швидкості
.
Приблизний вигляд сім’ї фазових кривих зображений на рисунку 3.