Xreferat.com » Рефераты по математике » Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Зміст


Вступ

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

2. Метод Гауса

3. Метод Жордана-Гауса

Висновки

Список використаних джерел


Вступ


При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки:

а) система має єдиний розв’язок;

б) система має безліч розв’язків;

в) система не має розв’язків.

У випадках а) і б) систему називають сумісною, а у випадку в) - несумісною.

Якщо система сумісна і має єдиний розв’язок то її називають визначеною, а коли безліч розв’язків - невизначеною. Випадок, коли система має кінцеве число розв’язків більше одного неможливий.

Позначимо через Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь матрицю системи.


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Через Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь позначимо матрицю, яка одержується із матриці Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь шляхом приєднання стовпця вільних членів


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Матрицю Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь називають розширеною матрицею системи (1).

Для того, щоб система рівнянь із Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь невідомих і Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь рівнянь була сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь дорівнював рангу розширеної матриці Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Зауваження. У випадку сумісності системи система має єдиний розв’язок (визначена), коли Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь і нескінченну кількість розв’язків (невизначена), коли Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, де Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь - кількість невідомих.

Однорідна система Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь лінійних рівнянь з Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь невідомими має вигляд:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Однорідна система завжди сумісна, так як вона має розв'язок Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, який називається нульовим або тривіальним.

Якщо визначник системи Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то тривіальний розв’язок буде єдиним розв’язком системи (3). Відмітимо, що ранг матриці системи і ранг розширеної матриці рівні.

Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тоді ранг матриці системи і ранг розширеної матриці системи (3) менше числа Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Припустимо, що вони дорівнюють Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Тоді система (3) має нескінченну множину розв’язків


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь,


де Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь - довільне дійсне число, а Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь - алгебраїчні доповнення елементів Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь-го рядка матриці системи. Дійсно, підставляючи ці числа в ліві частини рівнянь системи (3), одержимо:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Рівняння системи перетворились в тотожності, так як якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівняньсума


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


дорівнює нулеві (ця сума є сумою добутків елементів Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь-го рядка визначника на алгебраїчні доповнення другого Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь-го рядка визначника). Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь сума


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


також дорівнює нулеві, так як вона дорівнює визначнику системи Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, який дорівнює нулеві.

Відмітимо, що при побудові розв’язку системи беруться алгебраїчні доповнення того рядка, де хоч би одне із Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь не дорівнювало б нулю.

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса


1. Основні означення та результати

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1)


Означення. Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

що задовольняють усі рівняння системи (1).

Означення. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні.

У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать:

1) переставлення місцями рівнянь;

2) множення або ділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Будь-який метод розв’язування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних її перетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розв’язок уже легко знайти.

Запишемо вектори-стовпці


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. (2)


Для того щоб система рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розв’язок, необхідно і достатньо, щоб вектор Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівняньбув лінійною комбінацією векторів Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто щоб ранг r системи векторів Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь дорівнював рангу розширеної системи векторів Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Звідси дістаємо умову Кронекера-Капеллі сумісності системи рівнянь.

Для того щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг r матриці


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3)

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


дорівнював рангу розширеної матриці


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Нехай система рівнянь (1) сумісна, тобто виконується рівність


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Якщо, Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то всі рівняння системи (1) лінійно незалежні. У матриці А візьмемо мінор порядку Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, відмінний від нуля. Цей мінор називається базисним.

Очевидно, що вибір базисного мінора неоднозначний. Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то рівняння, коефіцієнти яких входять до базисного мінора, лінійно незалежні, причому решта Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь рівнянь є лінійними комбінаціями лінійно незалежних рівнянь.

Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то всі шукані змінні Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь визначаються єдиним чином. Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то змінні, коефіцієнти при яких входять до базисного мінора, називаються базисними.

Решту змінних називають вільними. Значення таких змінних можна вибирати довільно. Якщо вільні змінні вибрано, то базисні змінні можна вибрати єдиним чином. Якщо вільні невідомі дорівнюють нулю, то відповідний розв’язок системи (1) називається базисним.

Розглянемо однорідну систему рівнянь, що відповідають системі (1):


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (4)


Вона сумісна, бо завжди має нульовий розв’язок Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то система (4) має єдиний нульовий розв’язок. Якщо Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то система (4) має Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь лінійно незалежних ненульових розв’язків:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. (5)


Будь-яка лінійна комбінація розв’язків


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (6)


також є розв’язком системи рівнянь (4).

Якщо всі розв’язки (5) лінійно незалежні, тобто ранг матриці


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


дорівнює (Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь), то система розв’язків (5) називається фундаментальною.

Будь-який розв’язок системи рівнянь (4) можна подати у вигляді (6), тобто у вигляді лінійної комбінації розв’язків (5), які утворюють фундаментальну систему розв’язків.

При цьому розв’язок (6) системи рівнянь (4) називається загальним розв’язком однорідної системи (4). Загальний розв’язок системи (1) є сумою деякого частинного розв’язку цієї системи, наприклад базисного розв’язку, і загального розв’язку однорідної системи рівнянь (4).

Приклад. Розглянемо систему п’яти лінійних рівнянь з чотирма невідомими


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (7)


Можна переконатися, що ранг матриці коефіцієнтів і ранг розширеної матриці дорівнюють r = 2. За базисний мінор візьмемо визначник


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь,


елементи якого входять до перших двох рівнянь і є коефіцієнтами при Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Отже, базисними невідомими є Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, вільними невідомими - Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Замість системи (7) можна розв’язати систему, утворену з двох перших рівнянь:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (8)


Візьмемо вільні невідомі Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь і Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, а далі знайдемо базисний розв’язок системи рівнянь (7): Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Вважаючи х3 і х4 довільними змінними, із системи рівнянь


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


знайдемо розв’язки


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Нехай Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, де С1, С2 - довільні сталі. Тоді загальний розв’язок


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Запишемо однорідну систему рівнянь


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (9)


Вона має лінійно незалежні розв’язки:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


які утворюють фундаментальну систему розв’язків системи (5).

Отже, система рівнянь (7) має загальний розв’язок


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


де С1, С2 - довільні сталі.

Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді.


2. Метод Гауса


Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1)


до трикутного вигляду


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2)


Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Іноді вводять контрольний стовпець Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що дає змогу виявляти помилки. Поділивши перший рядок на а11, позначимо


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д. Позначивши


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь,


дістанемо таблицю коефіцієнтів:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Для невідомих Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь маємо систему Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Якщо коефіцієнт Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Позначивши


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь,


помножимо другий рядок послідовно на Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь і віднімемо від третього рядка; на Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Продовжуючи процес виключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Запишемо відповідну систему рівнянь:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3)

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходять Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, і т.д.

Якщо система рівнянь з n невідомими має єдиний розв’язок, то ця система завжди може бути перетворена до трикутного вигляду.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


за методом Гауса.

Складемо таблицю


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Послідовно знайдемо: Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. ·

У загальному випадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системи рівнянь з n невідомими


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (4)


Утворимо таблицю коефіцієнтів:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь


Скориставшись методом виключення Гауса і переставивши перші n стовпців, перетворимо таблицю до такого вигляду:


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.


Якщо хоча б один із коефіцієнтів Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь відмінний від нуля, то система рівнянь (4) несумісна і не має розв’язків. Якщо всі коефіцієнти Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, то система рівнянь (4) сумісна. У такому разі маємо r базисних невідомих, що відповідають першим r стовпцям, решта Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь невідомих є вільними.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь


Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (5)


Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:


Розв’язання системи лінійних
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: