Xreferat.ru » Рефераты по математике » Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

точністю до Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь(величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


де yi – наближене значення, отримане в точці Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньз кроком h; y2i – із кроком h/2; p - порядок методу; y(x2i) - точний розв’язок задачі.

Формула Рунге:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.


Збіжність різницевої схеми


Постановка задачі

Універсальним методом наближеного розв’язання, є метод скінченних різниць. Як задачі представлені у вигляді систем нелінійних рівнянь у часткових, які розглядаються у області Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Розв’язок задачі в Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь має додаткові умови:

умови при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь називають початковими умовами;

умови на границі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь області Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь — крайовими або граничними умовами.

Задача з початковими умовами – називається задачею Коші.

Нехай Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Тоді для функції Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь маємо задачу:

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (1)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (2)


де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньиЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - диференціальні оператори задачі і крайових умов. Припустимо ,що відповідно задачі (1-2) поставлені коректно, тобто оператори А и R; область D и її границі Г такі, що при виборі відповідних класів функцій і правих частин у рівняннях (1) и (2) розв’язок існує, і залежить від початкових даних.

Різницева схема

Введемо у області Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь сітку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, яка складається з множини внутрішніх вузлів Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і множини граничних вузлів Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь:

Далі розглянемо сіткові функції Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і з їх допомогою побудуємо наближений розв’язок задачі (1-2). Для цього відносно Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь сформулюємо "різницеву задачу", заміняючи оператори задачі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і їх сітковим аналогами Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньиЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Тоді на сітковому шаблоні Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь маємо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (3)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (4)


Задачу (3)-(4) назвемо різницевою схемою для задачі (1)-(2). Звичайно це алгебраїчна система рівнянь відносно Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

При переході від початкової задачі (1)-(2) до її різницевого аналогу (3)-(4) особливо важливі 3 групи питань:

- існування, єдиність і алгоритм побудови різницевого розв’язку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь;

- при яких умовах різницевий розв’язок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь збігається до точного розв’язку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і яка при цьому швидкість збіжності;

- як конкретно вибирати сітку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і побудувати різницеву схему Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь у задачі (3)-(4).

Нев’язка різницевої схеми

При побудові різницевого рівняння задачі


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


ми отримали задачу, якої точний розв’язок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, як правило, не задовольняє. Сіткову функцію


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


називають нев’язкою сіткового рівняння (3). Її зручно представити на розв’язку и(х) у вигляді:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь на Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (5)


Аналогічно знаходяться нев’язки граничних умов


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь на Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (5')


Як правило нев’язки Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь оцінюють по параметру Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь через розклад у ряд Тейлора в припущені гладкості відповідного розв’язку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь для отримання представлення нев’язки з залишковим членом виду Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Апроксимація різницевої схеми

Різницева схема (3)-(4) апроксимує задачу (1)-(2), якщо має місце:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (6)


Тобто відповідні нев’язки Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь 0 к нулю при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Апроксимація задачі (1)-(2) має порядокЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, якщо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (6')


У цих випадках норми рахуються для сіткових функцій на Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь але у своїх функціональних просторах.

Зауваження:

Сам розв’язок задачі (1)-(2) ,як правило невідомий і використовувати його для отримання нев’язок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь не можна. Тому беруть широкий клас функцій Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і вимагають апроксимації порядку к задачі (1)-(2) Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь , тобто


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.


При цьому на розв’язку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь задачі (1)-(2) апроксимація буде не гірше, ніж порядок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Як правило схема (3)-(4) по різним змінним має різний порядок апроксимації , наприклад, нев’язка рівняння


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Така апроксимація називається абсолютною на відміну від умовної апроксимації у випадку, коли, наприклад


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


При умовній апроксимації різницеве рівняння може апроксимувати різні диференціальні задачі.

Стійкість різницевої схеми

Відсутність стійкості різницевої схеми характеризується тим, що малі помилки, допущені на якому-небудь етапі обчислення, надалі сильно зростають і роблять непридатним результат розрахунку (чи взагалі неможливим сам розрахунок). Звичайно стійкість різницевої схеми оцінюють по погрішності вхідних даних, оскільки погрішність апроксимації, у силу визначення (6), при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньдо нуля. Виділимо в структурі погрішності ці доданки:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Типовий графік залежності погрішності сіткового рішення від величини кроку такий:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


I - При зменшенні кроку спочатку погрішність усіх схем убуває, тому що істотно зменшується погрішність апроксимації.

П - Для стійких схем погрішність сіткового рішення буде прагнути до скінченої величини, зв'язаної з помилкою вхідних даних. Якщо при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь помилка вхідних даних зникає, те - це випадок III. Тобто стійка схема в цьому випадку дозволяє одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Якщо ж схема не стійка (IV), то при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь похибка Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь зростає(чи зростає об’єм не стійких обчислень). Похибка Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь буде мати ненульовий мінімум і вже неможливо одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Як правило похибка вхідних даних і апроксимації мають степеневий характер залежності від Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь; а не стійкість приводить до зростання похибки розв’язку по експоненціальному закону Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь розрахунки втрачають сенс. Нагадаємо

Різницева схема (3-4)стійка по вхідним даним Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, якщо розв’язок різницевої схеми неперервно залежить від вхідних даних і ця залежність рівномірна відносно кроку сітки Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, тобто є Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь не залежить від Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь) таке, що


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (7)


Для лінійних схем різницеве рішення лінійно залежить від вхідних даних (у силу лінійності зворотного оператора)і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Тоді


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Зауваження:

На стійкість різницевої схеми впливає не тільки апроксимація рівнянь (1) (тобто оператора А), але, і особливо, крайових умов (2).

Якщо змінних у задачі мало, то розглядають безумовну й умовну стійкість;

Збіжність різницевої схеми

Розв’язуючи сіткову задачу (3)-(4) нас цікавить близькість сіткового розв’язку у(х) до розв’язку и(х) задачі (1)-(2). Різницевий розв’язок у(х) збігається до розв’язку и(х), якщо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (10)

Різницевий розв’язок має порядок точності Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, якщо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (10')


Нагадаємо ще раз, що ми розглядаємо лише коректні різницеві схеми (3)-(4), тобто рішення різницевої схеми існує і єдино при будь-яких вхідних даних Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь и Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з заданих класів функцій і схема стійка по вхідним даної (її рішення неперервно них залежить).

Теорема: Якщо розв’язок задачі (1)-(2) Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь існує, різницева схема (3)-(4) коректна и апроксимує задачу (1)-(2), то різницевий розв’язок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь збігається до точного:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


("Апроксимація + Стійкість =>Збіжність").

Доведення: Запишемо нев’язку різницевої схеми (3)-(4).


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (*)


Функція u(x) задовольняє задачі (*) — збуреній задачі (3)-(4). Так як схема стійка, то Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


В силу апроксимації Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь має місце

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Таким чином: Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь маємо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


тобто Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Зауваження:

Якщо яка-небудь дана нам умова апроксимується точно, то стійкість по ній можна не вимагати, тому що вона не вносить похибки у розв’язок (окрім помилок округлення, тоді стійкість по цим даним потрібна).

Для умовної апроксимації (чи стійкості) збіжність теж носить умовний характер.


Програмна реалізація(представлена на мові Delphi)


Розв’язати диференційне рівняння:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


З крайовими умовами:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розв’язування
					</div>
					<div class=Страницы: 1 2 3 4 5