Власні значення і власні вектори матриці

і вектори

систему (3) можна записати у вигляді матричного рівняння

(4)

звідси

(5)

Відмітимо, що обернена матриця залежить тільки від порядку n вікового визначника і може бути знайдена наперед, якщо доводиться мати справу з масовим розкриттям вікових визначників одного і того ж порядку.

Таким чином, застосування цього методу зводиться до обчислення числових визначників

і знаходження розв’язку стандартної лінійної системи (4).

5. Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

Для відшукання першого власного значення дійсної матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків

і

де А' — матриця, транспонована з матрицею А, і у₀ — вибраний яким-небудь чином початковий вектор.

Переходимо тепер до викладу самого методу.

Нехай А — дійсна матриця і — її власні значення, які передбачаються різними, причому

Візьмемо деякий ненульовий вектор у₀ і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій

(1)

Для вектора у₀ утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А' другу послідовність ітерацій

(2)

де .

Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Е_п виберемо два власні базиси і відповідно для матриць А і А', що задовольняють умовам біортонормування:

(3)

де і . Позначимо координати вектора у₀ в базисі через , а в базисі — через тобто

і

Звідси

(4)

І

()

Складемо скалярний добуток

Звідси через умову ортонормування знаходимо:

(5)

Аналогічно

(6)

Отже, при маємо:

Таким чином,

(7)

Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А'=А, і ми маємо просто

(8)

і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність .

Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці

Розв’язання. Оскільки матриця А — симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій .

Вибираючи за початковий вектор

можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:

і

Звідси

І

Отже,

що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А¹⁰у₀.

Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння

(9)

Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці

тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню

Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при ,вважаючи , одержимо:

(10)

Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).

Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.

Нехай власні значення матриці А такі, що

(1)

тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення і матриці А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення і власний вектор , що відповідає йому.

З формули (2) маємо:

(2)

І

(3)

Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять . Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:

(4)

Введемо позначення

(5)

причому вираз (5) називатимемо - різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність

(6)

Звідси

(7)

Нехай

З формул (6) і (7) виводимо:

(8)

Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення . Відмітимо, що на практиці зважаючи на втрату точності при відніманні близьких чисел іноді вигідніше номер ітерації k для визначення брати меншим, ніж номер ітерації т для визначення , тобто доцільно вважати:

(9)

де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання над наступними власними значеннями. Формула (9), взагалі кажучи, дає грубі значення для . Відмітимо, що якщо модулі всіх власних значень різні між собою, то за допомогою формул, аналогічних формулі (9), можна обчислити і решту власних значень даної матриці. Проте результати обчислень будуть ще менш надійні.

Що стосується власного вектора , те, як витікає з формули (6), можна покласти:

.

(10)

Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння.

Приклад. Визначити подальші власні значення і власні вектори матриці

Розв’язання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо:

45433 21141 6 201	202833 93906 27 342	905238 417987 121 248

Складаємо - різниці по формулі

де . Для кожного із стовпців приймається своє значення а саме: = 4,462; = 4,456; = 4,447 (таблиця 2).

Таблиця 2

Обчислення другого власного значення

202833 93906 27 342	202722 94204 76	111 – 298 – 234	905238 417987 121 248	905041 418445 121 590	197 – 458 – 342

Звідси одержуємо:

Отже, приблизно можна прийняти:

В якості другого власного вектора можна прийняти:

Нормуючи цей вектор, одержимо:

Оскільки матриця А — симетрична, то вектори і повинні бути ортогональні між собою. Перевірка дає:

Звідси , що досить неточно.

Третє власне значення знаходимо по сліду матриці А:

Звідси

.

Власний вектор

можна обчислити з умов ортогональності:

Звідси

Або

Після нормування остаточно отримаємо:

6. приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці

Задача 1

Дослідимо тривісне напруження стану елемента тіла, представленого на малюнку. Матриця напруги для нього має вигляд

Якщо виходити з того, що руйнування станеться при максимальній напрузі, то необхідно знати величину найбільшого головного напруження яке відповідає найбільшому власному значенню матриці напруги. Для знаходження цієї напруги скористаємося одним методом ітерацій. Одержимо власне значення і такий власний вектор

Задача 2. [12, стор. 70]Для довільного тривимірного твердого тіла можна ввести три моменти інерції відносно трьох взаємно перпендикулярних осей і три змішані моменти інерції відносно трьох координатних площин. Відомо, що для несиметричного тіла при фіксованому початку координат існує єдина орієнтація координатних осей, при якій змішані моменти інерції обертаються в нуль. Такі осі називаються головними осями інерції, а відповідні моменти інерції - головними моментами інерції, серед яких є найбільший, найменший і такий, що має проміжне значення. Для матриці моментів інерції

знайти три головних моменти інерції.

Задача 3. [12, стор. 70]Баржа призначена для перевезення через озеро Ері зчепки з шести залізничних вагонів. Буксир тягне її за носову частину, як показано на малюнку. Значення мас вагонів і коефіцієнтів жорсткості сполучних елементів вказані під малюнком. Існує побоювання, що в зчепленні вагонів при хвилюванні на озері можуть виникнути резонансні продольні коливання. Обчислити шість власних частот даної механічної системи і порівняти їх з частотою хвилі, рівній 1 рад/с. Власні частоти пов'язані з власними значеннями динамічної матриці D співвідношенням

Динамічна матриця утворюється із матриць жорсткості [К] і мас [M]

.

Задача 4. [12, стор. 71] Консольний брус довжиною 10 м, що має згинну жорсткість і погону масу 10 кг/м, апроксимується двома точковими масами по 50 кг кожна, що розташовані в центрі та на вільному кінці бруса.

Потрібно знайти дві основні частоти коливань бруса. Це можна зробити, знаючи власні значення динамічної матриці та маючи на увазі, що

.

— діагональна матриця, на діагоналі якої стоять маси точок;

— матриця згину, в якій елементи і-го рядка являють собою відхилення точки j під дією одиничної сили, що прикладена до точки і. Осьова сила відсутня. Деформаціями здвигу можна знехтувати.

Висновки

У першому розділі курсової роботи проаналізовано науково-методичну літературу з теми дослідження.

Вивчення даної теми ми почали з розкриття дуже важливого для нашого дослідження поняття "матриця".

Ми розглянули основні відомості про матриці та визначники, висвітлили означення власних значень та власних векторів матриць.

В другому розділі ми розглянули теоретичні основи таких методів:

1. метод А. М. Данілевського;

2. метод А. Н. Крилова;

3. метод Леверрьє;

4. метод невизначених коефіцієнтів;

5. метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці.

Наведені приклади задач з фізики, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці.

Дана робота має практичне застосування, її матеріал може бути використаний на факультативних заняттях з лінійної алгебри для формування наукового світогляду та математичної культури студентів.

Список використаних джерел

1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1966. — 560 с.

2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов — 4-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 296 с.

3. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Мир, 1988. — 512 с.

4. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — М.: Наука, 1968. — 402 с.

5. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики — М.: Наука, 1977. — 392с., ил.

6. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения/Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

7. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. — 408 с.

8. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 304 с., ил.

9. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных уравнений. — М.: Мир, 1969. — 285 с.

10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 277 с., ил.

11. Хемминг Р. В. Цыфровые фильтры: Пер. с англ./Под ред. А. М. Трахтмана — М.: Советское радио, 1980. — 224 с., ил.

12. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 238с., ил.

1 Нормуванням (на одиницю) вектора х називають множення його на ; нормований вектор має одиничну довжину.