Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора

КУРСОВА РОБОТА

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"

Запоріжжя 2010

Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

Нехай і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .

Оператор називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1. (властивість адитивності);

2. (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь – якого вектора простору

.

Під добутком лінійного оператора на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора простору

Неважко переконатися в тому, що оператори і лінійні.

Оператор називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору .

Щоб переконатися, що оператор лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор – називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.

Введені на множині лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1.,

2. ,

3. існує один лінійний оператор такий, що для будь – якого лінійного оператора із

4. для кожного оператора існує єдиний оператор – такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора